§ 3. ОБЩЕЕ, ЧАСТНОЕ И ОСОБОЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

1. Общее и частное решения дифференциального уравнения.

Мы пользовались в главе I понятиями общего и частного решений дифференциального уравнения, определения которых были сформулированы во введении. Однако, как указывалось во введении, эти определения не нвляются вполне строгими. Здесь мы уточним их.

Определение 1. Точка называется обыкновенной для дифференциального уравнения если у нее есть прямоугольная окрестность

через каждую точку которой проходит единственное решение этого дифференциального уравнения, заданное на отрезке .

Теорема. Если в некоторой прямоугольной окрестности точки непрерывны как функция так и ее частная производная то является обыкновенной почкой для дифференциального уравнения

Доказательство. Пусть М — наибольшее значение наибольшее значение в 2а и 2б — размеры окрестности Тогда (см. п. 1 § 2) через точку проходит единственное решение дифференциального уравнения, заданное на отрезке

Легко проверить, что утверждение остается верным, если уменьшить вдвое как число b, так и значение Обозначим через прямоугольную окрестность точки , заданную неравенствами:

Рис. 18

Она целиком лежит в и потому для любой точки этой окрестности существует единственное решение данного дифференциального уравнения, заданное на отрезке график которого лежит в окрестности

Эта окрестность также лежит в причем отрезок содержит отрезок

Значит, через каждую точку окрестности проходит единственное решение уравнения определенное на отрезке Теорема доказана.

Линии разрыва графиков функций f и они существуют) разделяют плоскость на части, внутри каждой из которых эти функции непрерывны, а потому внутренние точки этих частей являются обыкновенными для дифференциального уравнения

Пример 1. Для уравнения функция непрерывна, а функция разрывна на оси абсцисс. Эта линия разрыва делит плоскость на две части — нижнюю и верхнюю, причем все точки, лежащие выше оси абсцисс, равно как и все точки, лежащие ниже нее, обыкновенные.

Определение 2. Пусть — одна из связных областей, на которые линии разрыва функции делят плоскость. Функция называется общим решением дифференциального уравнения в области , если:

а) при любом значении С функция удовлетворяет этому уравнению и ее график лежит в области

б) для любой точки области Q найдется такое значение что т. е. решение удовлетворяет начальному условию

Определение 3. Пусть — общее решение уравнения в области и число. Функция называется частным решением уравнения.

В качестве произвольной постоянной может быть выбрана ордината этого решения при фиксированном значении аргумента.

Если — общее решение уравнения в области то эта область расслаивается на графики функций , соответствующих всевозможным значениям С.

Пример 2. Верхняя и нижняя полуплоскости (рис. 19, а) расслаиваются на графики функций соответственно являющихся решениями уравнения в этих полуплоскостях. Через каждую точку полуплоскостей проходит единственный график этих функций.

Заметим, что для всей плоскости нельзя сказать, что через каждую ее точку проходит единственное решение уравнения наряду с графиком функции через эту точку проходят графики бесчисленного множества решений, один из которых показан на рисунке 19, б.

Аналогично определяются понятия общего и частного решений систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений высшего порядка. Общее решение системы дифференциальных уравнений где имеет вид: , где

Рис. 19

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: , где Придавая произвольным постоянным фиксированные значения, получаем частные решения.