3. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера.

Мы доказали, что уравнение колебаний струны имеет вид:

Чтобы упростить задачу и не рассматривать граничные условия, будем считать, что струна бесконечна в обе стороны. Тогда ее колебаний однозначно определяются заданием начальных условий:

Итак, нам надо найти решение дифференциального уравнения (1), определенное для всех и удовлетворяющее

начальному условию (2). С этой целью сделаем замену переменных, а именно положим

т. е.

В силу правила дифференцирования композиции функций нескольких переменных получаем, что

и потому

Иными словами, Следовательно, уравнение (1) принимает в новых переменных следующий вид:

Теперь его уже легко решить. Обозначим — через V.

Уравнение (3) означает, что , т. е. V не зависит от однако V может зависеть от . Итак, , где произвольная функция от . Поскольку получаем для отыскания и уравнение

Если — одна из первообразных для функции X, то получаем, что . При этом произвольная

постоянная С не зависит от , но может зависеть от . Значит, мы получили для и выражение вида

Подставляя в это выражение значения получаем: и

Мы доказали следующее утверждение:

Любое решение дифференциального уравнения (1) имеет вид (4), где — произвольные функции одной переменной.

Наличие произвольных функций в полученном решении вообще характерно для дифференциальных уравнений в частных производных.

Замечание. Для того чтобы функция (4) удовлетворяла дифференциальному уравнению (1), функции должны иметь вторые производные. В некоторых случаях приходится рассматривать обобщенные решения уравнений колебаний струны, имеющие вид (4), но для которых функции не являются дважды дифференцируемыми. Академик С. Л. Соболев исследовал такие решения, положив тем самым основы важного раздела современной математики — теории обобщенных функций.

Чтобы получить решение уравнения (1) при заданных начальных условиях (2), надо подобрать функции так, чтобы выполнялись эти условия. Но из (4) следует, что

и потому

Итак, для отыскания и получаем систему уравнений:

Дифференцируя первое уравнение этой системы, получаем, что . Из системы уравнений

находим, что

Отсюда путем интегрирования от 0 до (соответственно q) получаем, что

Значения связаны условием: которое вытекает из равенства

Заменяя в полученных выражениях на их соответственно и складывая получившиеся равенства, выводим, что

Поскольку , получаем:

Пример 1. Решим уравнение (1) при начальных условиях:

Решение. Из формулы (5) следует, что

Пример 2. Решим уравнение (1) при начальных условиях:

Решение. Из формулы (5) получаем, что

В заключение остановимся на решении уравнения колебаний струны, имеющей конечную длину. В этом случае, кроме начальных условий, надо задать краевые условия. Пусть они имеют вид: и (т. е. пусть струна закреплена на концах). Начальные условия задаются лишь на отрезке :

Для простоты ограничимся случаем, когда начальная скорость равна нулю:

Сведем рассматриваемую задачу к случаю бесконечной струны. Для этого продолжим функцию сначала нечетным образом на отрезок а потом периодически на всю ось с периодом и решим задачу о колебании бесконечной струны с начальным условием и для всех . Это решение имеет вид:

Легко доказать, что оно при всех значениях удовлетворяет начальному условию и а при всех значениях t — краевым условиям: .

Случай, когда рассматривается аналогично.