§ 3. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

1. Понижение порядка дифференциального уравнения.

Одним из основных методов решения дифференциальных уравнений высшего порядка является понижение их порядка и сведение к уравнению первого порядка. Рассмотрим

некоторые типы уравнений, допускающих понижение порядка.

а) Уравнение вида,

- наиболее простое дифференциальное уравнение порядка. Решается последовательным понижением его порядка.

Обозначим через . Тогда и потому уравнение (1) принимает вид: . Интегрируя обе части этого уравнения, получаем, что , т. е. что . Если обозначить через одну из первообразных функции получим, что

Порядок исходного уравнения понизился на единицу. Интегрируя теперь (2), получим:

Проинтегрировав n раз, найдем

Пример 1. Найдем частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. Найдем сначала трехкратным интегрированием общее решение уравнения

Из этих равенств следует, что . Используя начальные условия, получим систему уравнений:

Искомым частным решением является функция .

Пример 2. Однородная горизонтальная балка длиной с постоянным поперечным сечением закреплена в левом конце и находится под действием вертикальной силы Р, приложенной к правому концу балки и направленной вниз (рис. 10). Найдем уравнение изогнутой оси балки и вычислим прогиб балки на правом конце.

Рис. 10

Решение. Известно, что при малом изгибе уравнение изогнутой оси балки удовлетворяет дифференциальному уравнению

где Е — модуль Юнга, I — момент инерции площади поперечного сечения относительно оси балки, изгибающий момент в сечении с абсциссой равный сумме моментов относительно точки всех сил, расположенных справа от сечения. При данных условиях Е и постоянные, а изгибающий момент в сечении с абсциссой равен:

(знак «минус» объясняется тем, что сила Р направлена вниз). Таким образом, уравнение изогнутой оси балки

Проинтегрировав его дважды, найдем общее решение уравнения

Очевидно, Кроме того, ось Ох является касательной к изогнутой оси балки в левом конце. Уравнение оси поэтому Следовательно, имеем начальные условия: Используя их, найдем значения :

Ось балки расположится по линии, уравнение которой

Величина прогиба на правом конце балки (при ) равна:

В динамике материальной точки уравнения вида встречаются при изучении прямолинейного движения точки в случае, когда сила, действующая на эту точку, зависит только от момента времени.

Пример 3. Изучим движение материальной точки массой , движущейся по прямой линии под действием силы, меняющейся по закону: если начальные координаты и скорость точки равнялись нулю: .

Решение. В силу второго закона Ньютона получим дифференциальное уравнение

Дважды интегрируя, получим: . Значит, общее решение уравнения имеет вид:

Учитывая, что , получим:

Мы нашли закон движения точки. Поскольку получаем, что с течением времени это движение приближается к равномерному движению по закону:

б) Уравнение вида

не содержит явно искомой функции и производных до порядка включительно. Оно приводится к уравнению порядка заменой

Действительно, дифференцируя (9), получим: поэтому с помощью подстановки (9) уравнение (8) приводится к уравнению

т. е. к уравнению порядка. Проинтегрировав это уравнение, найдем новую искомую функцию . Но в результате получим уравнение порядка

относительно рассмотренное в пункте а). Проинтегрировав его k раз, найдем общее решение уравнения (8).

Пример 4. Найдем общее решение уравнения

Решение. Здесь . Полагая получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными откуда Интегрируя, получим:

откуда

Возвращаясь к у, получим уравнение порядка вида, рассмотренное в пункте а):

Дважды интегрируя, найдем общее решение заданного уравнения в виде

(в данном случае интегралы не выражаются через элементарные функции).

Пример 5. Точка массой движется по прямой под действием силы изменяющейся по синусоидальному закону . Сопротивление среды пропорционально скорости точки: . Выведем закон движения точки, если ее начальные положение и скорость равнялись нулю.

Решение. По условию результирующая сила F, действующая на точку, состоит из слагаемых вида . Поэтому в силу второго закона Ньютона имеем

равенство или, поскольку дифференциальное уравнение

Начальными условиями являются .

Введем новую переменную . Тогда и мы получим уравнение

с начальным условием . Оно совпадает с уравнением примера 3 (случай б) п. 2 § 2, и его решение имеет вид:

Так как то и потому

Поскольку то для отыскания имеем уравнение

Интегрируя, получим:

Поскольку то

Поэтому

в) Уравнение вида

не содержит в явном виде аргумент х.

Ради простоты ограничимся случаем, когда , т. е. уравнениями вида

Для решения таких уравнений применяется следующий искусственный прием: за новый аргумент принимают у, а за искомую функцию берут (если у — координата прямолинейно движущейся точки, то это значит, что ищут выражение скорости этой точки через координату).

Так как то . По формуле дифференцирования сложной функции имеем: Подставив в уравнение (10) найденные значения получим дифференциальное уравнение первого порядка:

Пусть - общее решение полученного уравнения. Заменяя в этом решении на у, получаем уравнение с разделяющимися переменными: или, иначе, . Общий интеграл этого уравнения имеет вид:

или

где одна из первообразных функции .

Пример 6. Решим уравнение Решение. Это уравнение не содержит в явном виде Поэтому примем у за новый аргумент, а за новую искомую функцию. Так как то

Значит,

Интегрируя это уравнение и полагая , имеем:

т. е. . Так как , то при получим уравнение т. е.

Интегрируя, получаем:

Отсюда следует, что

Если то решение уравнения может быть получено из решения уравнения (11) изменением знака Ниже мы укажем более простой способ решения этого дифференциального уравнения.

Пример 7. Материальная точка Р (маятник) массой подвешена на нерастяжимой нити длиной массой которой можно пренебречь. Маятник выведен из положения равновесия и затем отпущен. Точка Р начнет двигаться по окружности радиуса расположенной в вертикальной плоскости (рис. 11). Найдем закон движения маятника, если он в начальный момент времени отклонен от положения равновесия на угол и имеет начальную скорость, равную нулю.

Рис. 11

Решение. Положение маятника можно определить углом Пусть - длина дуги , взятая с соответствующим знаком: . Касательная — составляющая силы, равная направлена в сторону убывания s. По второму закону Ньютона получаем дифференциальное уравнение

Сократив наши заменив s на , получим уравнение

Это уравнение колебаний математического маятника; оно не содержит явно независимой переменной t, т. е. относится к рассматриваемому сейчас виду. Полагая преобразуем уравнение (13) в уравнение первого порядка

или

откуда, интегрируя, получим:

Так как угловая скорость, то при . Поэтому при получим:

и, следовательно,

Поскольку при возрастании t угол убывает, производная должна быть отрицательной и потому

Заменив в (14) через и разделив переменные, придем к уравнению

Интегрируя, получим:

Интеграл в (15) не выражается в элементарных функциях.

Учитывая начальные условия, это решение запишем в виде