3. Огибающая семейства плоских кривых.

Рассмотрим семейство линий, заданное уравнением

где С — параметр и функция Ф непрерывна и имеет непрерывные производные . Это множество называют семейством, зависящим от одного параметра.

Определение. Гладкая кривая где функции непрерывны и , называется огибающей семейства плоских кривых, если в каждой своей точке она касается кривой семейства, соответствующей значению параметра С, и отлична от нее в любой окрестности этой точки (рис. 21).

Теорема. Если кривая Г, заданная уравнениями

- огибающая семейства кривых (1), то функции

Рис. 20

Рис. 21

удовлетворяют системе уравнений:

Доказательство. По определению огибающая кривая семейства (1), которая соответствует некоторому значению параметра С, проходит через точку огибающей и касается ее в этой точке. Это означает, что при допустимом значении параметра С справедливо равенство

Далее, огибающая в каждой своей точке М имеет общую касательную с кривой семейства, проходящей через точку М. Поэтому угловой коэффициент касательной к огибающей в точке М равен угловому коэффициенту касательной к соответствующей кривой семейства в той же точке, т. е. справедливо равенство

Перепишем равенство (5) в виде

Дифференцируя (4) по С, получим:

В силу (6) равенство (7) принимает вид:

Равенства (4) и (8) показывают, что функции удовлетворяют системе уравнений (3).

Теорема доказана.

Замечание. Мы доказали, что огибающая семейства кривых удовлетворяет системе уравнений (3). Но не всякая кривая, удовлетворяющая этой системе уравнений, является огибающей. Решив систему уравнений (3) относительно и у, мы найдем так называемую

дискриминантную кривую, которая (или ее ветвь) может и не быть огибающей. Поэтому, найдя дискриминантную кривую, проверяют, будет ли она (ее ветвь) огибающей.

Пример. Найдем огибающую семейства полукубических парабол:

Решение. Здесь

Система (3) принимает вид:

Решим ее относительно и исключим С. Получим: 1) , откуда 2) , откуда Следовательно, дискриминантная кривая распадается на пару прямых: Только вторая прямая является огибающей, ибо только для точек этой прямой выполняется равенство (5). В самом деле,

Для первой же прямой имеем: и потому равенство (5) смысла не имеет.

Если семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения то огибающая этого семейства также будет интегральной кривой для этого уравнения. В самом деле, по определению огибающей в каждой ее точке касательная к огибающей совпадает с касательной соответствующей интегральной кривой данного семейства, а потому эта огибающая, как и соответствующая интегральная кривая, касается поля направлений.

Поскольку через каждую точку огибающей проходят по меньшей мере два решения данного уравнения, то она является особой интегральной кривой. Отсюда для отыскания особых решений по уже найденному общему решению надо найти огибающую данного семейства кривых. В соответствии со сказанным выше для этого нужно исключить С из системы уравнений

и проверить, какие части получившейся кривой являются интегральными кривыми для уравнения .