ВВЕДЕНИЕ

Многие вопросы физики, химии, экономики, техники и других областей знания сводятся к следующей задаче: найти функцию , имея некоторое уравнение, в которое, кроме этой функции и аргу ментов, от которых она зависит, входят также ее производные до некоторого порядка включительно. Такие уравнения называют дифференциальными уравнениями. Если искомая функция зависит лишь от одного аргумента, уравнение называют обыкновенным дифференциальным уравнением. В противном случае его называют дифференциальным уравнением в частных производных. Если в уравнение входит производная порядка искомой функции, но не входят производные более высоких порядков, говорят, что порядок этого уравнения равен .

Пример 1. Уравнение

является обыкновенным дифференциальным уравнением третьего порядка, а

- дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка.

Любую функцию, при подстановке которой в уравнение получается тождество, называют решением этого уравнения.

Пример 2. Покажем, что функция является решением дифференциального уравнения .

Решение. Найдем вторую производную данной

функции, после чего подставим эту производную и саму функцию в уравнение:

и потому

Выполняя упрощения, получаем, что при всех значениях х выполняется тождество а это и значит, что данная функция является решением заданного уравнения.

Эта функция не является единственным решением данного уравнения, так как ему удовлетворяет любая функция вида , где - какие-то числа. Эти числа называют произвольными постоянными. Видим, что решение уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные. Таким образом, это уравнение имеет бесконечно много решений.

Причина появления бесконечного множества решений видна на примере простейшего дифференциального уравнения вида .

Здесь требуется найти функцию по заданному значению ее производной, а из курса интегрального исчисления мы знаем, что эта задача решается интегрированием:

Если F — одна из первообразных функций f, то и потому ответ имеет вид: где С — произвольная постоянная.

Пример 3. Решим дифференциальное уравнение

Решение. Имеем:

К уравнениям рассмотренного вида сводятся дифференциальные уравнения порядка вида Решение таких уравнений выполняется путем -кратного интегрирования функции Поскольку при каждом интегрировании появляется произвольная постоянная, то решение зависит уже от таких постоянных.

Пример 4. Найдем общий вид решений дифференциального уравнения

Решение. Так как , то для отыскания надо проинтегрировать функцию :

Далее для отыскания у проинтегрируем полученное выражение для :

и, наконец, для отыскания у проинтегрируем у:

Получили выражение, содержащее три произвольные постоянные, т. е. столько, каков порядок уравнения. Вообще, при решении обыкновенных дифференциальных уравнений порядка получается решение, содержащее произвольных постоянных. Решение дифференциального уравнения порядка, зависящее от произвольных постоянных, естественно назвать общим решением этого уравнения. Решение же, получаемое из общего решения подстановкой вместо произвольных постоянных определенных чисел, называют частным решением данного уравнения.

Однако в таком виде определение общего решения недостаточно строго, так как произвольные постоянные могут входить в решение «кажущимся» образом. Например, функция

на первый взгляд зависит от двух произвольных постоянных . Но если вспомнить, что то увидим, что эта функция равна т. е. не зависит ни от ни от .

Чтобы уточнить определение общего решения дифференциального уравнения, рассмотрим пример.

Пример 5. Материальная точка массой движется прямолинейно под действием силы F, периодически изменяющейся по закону: . Найдем закон движения этой точки.

Решение. Направим ось в направлении движения точки. По второму закону Ньютона имеем: и потому Но ускорение является второй производной от координаты точки по времени, т. е. следовательно, имеем:

Это уравнение решается указанным выше способом: дважды интегрируя, получим сначала, что

а затем

В полученный ответ входят две произвольные постоянные . Это означает, что закон движения точки не определяется однозначно действующей на нее силой. Из физических соображений ясно, что надо еще задать начальную скорость и начальное положение точки , т. е. задать значения при Поскольку то из (1) и (2) получаем равенства:

Из них следует, что и потому решение уравнения (2) примет вид:

Мы видим, что для получения частного решения дифференциального уравнения второго порядка из его общего решения надо дополнительно задать значения искомой функции и ее производной в некоторой точке (например, при .

Замечание. Обращаем внимание на то, что число дополнительных условий равно числу искомых произвольных постоянных. В случае уравнения порядка надо задать значения искомой функции

и ее последовательных производных в некоторой точке для :

Равенства (3) называют начальными условиями или условиями Коши для обыкновенного дифференциального уравнения порядка .

Теперь можно уточнить понятие общего решения.

Общим решением дифференциального уравнения порядка называют его решение, зависящее от произвольных постоянных таким образом, что для любых чисел можно найти значения постоянных, при которых решение удовлетворяет начальным условиям (3).

Однако и это определение не является вполне точным, так как, во-первых, начальные условия могут быть такими, которым нельзя удовлетворить (например, условие для дифференциального уравнения во-вторых, начальным условиям может удовлетворять бесконечно много решений данного уравнения. Однако такие начальные условия являются исключительными, а для обыкновенных начальных условий все обстоит благополучно. Поэтому в данное выше определение надо перед словами «начальным условиям» добавить слово «обыкновенным». В главе II определение понятия общего решения дифференциального уравнения сформулируем точнее. В главе I будем пользоваться приведенным выше определением, которое математики XVIII века считали достаточным. Некоторым оправданием такой нестрогости может послужить то, что им удавалось, пользуясь указанным выше «наивным» определением, успешно справляться с весьма сложными задачами физики и астрономии.

В первый период развития теории дифференциальных уравнений рассматривали лишь такие их решения, которые можно выразить через элементарные функции. Вскоре, однако, выяснилось, что в таком виде нельзя выразить решение даже таких простейших дифференциальных уравнений, как или соответствующие интегралы не выражаются через элементарные функции. Поэтому рассматривали лишь решения, которые выражались через интегралы от элементарных функций. Поскольку операцию интегрирования в то

время связывали в основном с отысканием площадей, или, как говорили, с квадратурами, то уравнения, решения которых выражались через интегралы от элементарных функций, называли разрешимыми в квадратурах.

Во многих случаях для дифференциального уравнения удается получить лишь неявное выражение решения, т. е. некоторое соотношение, связывающее функцию и аргумент и обладающее следующим свойством: любая дифференцируемая. функция, получаемая при разрешении этого соотношения относительно переменной у (обозначения функции), удовлетворяет данному дифференциальному уравнению.

Такие неявно заданные решения называют интегралами данного дифференциального уравнения. Если при этом интеграл уравнения содержит столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения, и путем подбора произвольных постоянных можно удовлетворить любым (обыкновенным) начальным условиям, то такое решение называют общим интегралом уравнения. Решение же, получаемое путем придания в общем интеграле произвольным постоянным определенных значений, называют частным интегралом данного уравнения. График частного интеграла называют интегральной кривой данного уравнения.

Пример 6. Покажем, что равенство

является общим интегралом дифференциального уравнения

Решение. Продифференцируем соотношение (4) по х, имея в виду, что у является функцией от х:

т. е.

Дифференцируя еще раз по х, получаем, что

Из равенств (4) и (5) следует, что

Подставляя в это равенство вместо выражение, полученное из (6), приходим к равенству

В данном примере можно было легко разрешить равенство (4) относительно у, получив две дифференцируемые функции:

Проверьте, что они удовлетворяют данному дифференциальному уравнению. Но в иных случаях получить такой явный вид не удается.

Ниже мы убедимся, что задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений, равно как и возникающие при решении этих задач уравнения, весьма разнообразны. Однако очень часто совершенно разные на первый взгляд задачи приводят к одинаковым дифференциальным уравнениям. Например, процессы радиоактивного распада, увеличения массы колоний бактерий, поглощения света при прохождении через некоторую среду, движения тела в сопротивляющейся среде и многие другие сводятся к одному и тому же уравнению Оно показывает, что во всех этих вопросах мгновенная скорость изменения некоторой величины пропорциональна значению этой величины в данный момент времени (такие процессы называют процессами органического изменения). А дифференциальное уравнение характеризует процессы выравнивания, в которых эта мгновенная скорость пропорциональна разности между некоторым предельным значением величины и ее значением в данный момент времени.

Разумеется, чем больше факторов, от которых зависит течение того или иного явления, приходится принимать во внимание, тем сложнее получается уравнение и тем сложнее его решить. В XVIII в. ученые, упрощая задачу, стремились свести ее к дифференциальным уравнениям, решаемым в элементарных функциях или в интегралах от таких функций. Однако потребности практики заставляют строить все более сложные математические модели реальных явлений и решать все более сложные уравнения. Поэтому большое значение приобрели численные методы приближенного решения дифференциальных уравнений. Реализация всех основных достижений современной научно-технической мысли в значительной степени основана на возможности численно решать самые сложные дифференциальные

уравнения. Внедрение быстродействующих вычислительных машин, выполняющих миллионы арифметических операций в секунду, позволяет, например, руководить с Земли движением космических кораблей v луноходов, рассчитывать работу атомных реакторов и т. д.

Задачи современной науки сводятся не только к обыкновенным дифференциальным уравнениям, но и к дифференциальным уравнениям в частных производных и в системам таких уравнений. С системами обыкновенных дифференциальных уравнений ученые встретились еще в XVII—XVIII вв., изучая движение планет. Например, если пренебречь взаимным притяжением планет, а учитывать лишь их тяготение к Солнцу, то движение планеты описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

(здесь — координаты планеты в момент времени t). Решением системы дифференциальных уравнений называют любой набор функций, при подстановке которых в уравнения данной системы все они преобразуются в тождество.

Теория дифференциальных уравнений является одним из важнейших приложений математики. Многие первоклассные результаты в этой области получены русскими и советскими учеными В. С. Владимировым, А. А. Дородницыным, М. В. Келдышем, М. А. Лаврентьевым, О. А. Ладыженской, О. А. Олейник, И. Г. Петровским, Л. С. Понтрягиным, С. Л. Соболевым, В. А. Стекловым, В. В. Степановым, А. Н. Тихоновым, Н. Н. Яненко и другими.

В данной книге рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения, причем изучаются как методы решения конкретных уравнений, так и вопросы общей теории этих уравнений. Показаны также некоторые методы численного решения уравнений.