§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. Алгебра дифференциальных операторов.

Характеристический многочлен. В этом параграфе будем рассматривать уравнения вида

где числа, которые называют линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Мы видели, что умножение дифференциальных операторов обладает свойством ассоциативности, но, вообще говоря, не является коммутативным. В то же время сложение дифференциальных операторов дистрибутивно относительно сложения (как слева, так и справа). Некоммутативность умножения дифференциальных операторов влечет за собой различия между алгеброй таких операторов и обычной алгеброй. Но есть класс дифференциальных операторов, для которых умножение коммутативно, а именно класс линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, т. е. операторов вида

где некоторые числа.

Мы будем называть такие операторы дифференциальными многочленами. Коэффициенты этих многочленов могут быть комплексными, но, как правило, мы будем иметь дело о дифференциальными многочленами, имеющими действительные коэффициенты. Чтобы доказать коммутативность умножения дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, достаточно заметить, что по свойствам дифференцирования

и

Поскольку операции сложения и умножения дифференциальных многочленов обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над числами, алгебра дифференциальных многочленов аналогична обычной алгебре многочленов.

Определение. Многочлен

в котором переменная принимает числовые значения, называют характеристическим многочлен ом для дифференциального многочлена

а уравнение характеристическим уравнением для

Каждому тождеству для обычных многочленов соответствует тождество для дифференциальных многочленов. Например, из того, что

вытекает:

В курсе алгебры доказывают следующую теорему:

Теорема 1. Любой многочлен степени можно представить в виде

где корни этого многочлена, кратности этих корней. При этом

Даже в случае, когда коэффициенты многочлена действительны, среди корней могут быть и комплексные. Но тогда вместе с каждым комплексным корнем в разложение входит сопряженный с ним корень и притом с той же кратностью.

Из теоремы 1 вытекает, что любой дифференциальный многочлен

порядка можно разложить на множители:

где корни характеристического многочлена для кратности этих корней. Это позволяет свести изучение любых дифференциальных многочленов к изучению дифференциальных

выражений вида Докажем следующее утверждение:

Теорема 2. Если многочлен степени s и а , то

где тоже многочлен степени s. Кроме того, если то

где многочлен степени . Если , то

Доказательство. Сначала найдем выражение для Имеем:

Так как многочлен степени то при выражение является многочленом степени s. Но тогда и имеет вид где многочлен степени

Если , то

Поскольку многочлен степени то каждое применение оператора понижает на единицу степень множителя при , а -кратное применение этого оператора понижает указанную степень на k. Отсюда и следует равенство (2) при .

При получаем, что , где — постоянная. Еще одно применение оператора обращает это выражение в нуль, поэтому при

В частности, .