Вопросы для самопроверки

1. Какие дифференциальные уравнения называются линейными?

2. Что называется свободным членом линейного дифференциального уравнения высшего порядка?

3. Какие линейные уравнения называются однородными, а какие неоднородными?

4. Что называется линейным дифференциальным оператором?

5. Приведите примеры линейных дифференциальных операторов.

6. Являются ли линейными дифференциальными операторами:

а) куб линейного дифференциального оператора;

б) сумма куба линейного дифференциального оператора и его квадрата?

7. Какие равенства надо проверить для доказательства линейности оператора

Обозначим через оператор сдвига:

Докажите, что

Указание. Используйте формулу Тейлора.

9. В чем особенность теоремы существования и единственности решения для систем линейных дифференциальных уравнений и для линейных дифференциальных уравнений высшего порядка?

10. Запишите систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка в матричной форме.. Объясните смысл каждого обозначения.

11. Запишите уравнение если:

12. Какие линейные дифференциальные операторы называются приведенными?

13. Как доказать, что пространство решений уравнения линейно?

14. Какую размерность имеет пространство решений уравнения если L — приведенный линейный дифференциальный оператор четвертого порядка с непрерывными коэффициентами?

15. Какие точки могут быть особыми для уравнения если L — линейный дифференциальный оператор с непрерывными коэффициентами?

16. Могут ли быть особые точки у уравнения если L — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами?

17. Какая система функций заданных на отрезке X, называется линейно зависимой на этом отрезке? линейно независимой?

18. функций линейно независимы. Могут ли m из них, где оказаться линейно зависимыми?

19. Какая система решений линейного однородного уравнения называется фундаментальной?

20. Чем является фундаментальная система решения однородного уравнения для пространства решений этого уравнения?

21. Сформулируйте и докажите теорему о структуре общего решения линейного однородного уравнения (основная теорема).

22. Может ли линейное однородное уравнение пятого порядка иметь семь линейно независимых частных решений?

23. Как устанавливается изоморфизм между пространством решений уравнения порядка и пространством

24. Как пишется определитель Вронского для системы решений линейного однородного дифференциального уравнения третьего порядка?

25. При каком условии система решений однородного линейного дифференциального уравнения порядка образует базис в пространстве решений?

26. Пусть определитель Вронского системы решений уравнения порядка отличен от нуля в точке Для каких еще точек можно гарантировать, что он отличен от нуля? В каких точках он может обратиться в нуль?

27. Охарактеризуйте структуру общего решения линейного неоднородного уравнения.

28. Если вместо частного решения неоднородного уравнения (1) взять другое частное решение этого уравнения, то как запишется общее решение этого уравнения?

29. В чем заключается идея метода вариации постоянных?

30. Как получаются уравнения, входящие в систему

Почему система (5) линейных уравнений относительно всегда имеет решения?

Упражнения

1. Найдите значения оператора , если:

2. Найдите значения оператора если:

3. Дано линейное однородное уравнение

Какие из функций являются решениями этого уравнения?

4. Дано линейное однородное уравнение

Какие из функций принадлежат пространству решений этого уравнения?

5. Укажите образы элементов при изоморфном отображении пространства решений однородного уравнения третьего порядка на пространство определяемом начальными условиями:

6. Докажите, что функции линейно независимы на всей числовой прямой.

7. Докажите, что функции линейно зависимы на любом отрезке X.

8. Докажите, что функции линейно независимы на интервале

Убедитесь, что функции образуют фундаментальную систему частных решений линейного однородного

уравнения и напишите общее решение этого уравнения,

10. Найдите частные решений уравнения удовлет воряющие начальным условиям:

11. Докажите, что функции образуют фундаментальную систему решений уравнения и найдите частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Напишите определитель Вронского для заданных систем функций:

Используя определитель Вронского, убедитесь в линейной независимости заданных систем функций:

Составьте дифференциальное уравнение по заданной фундаментальной системе решений:

Решите линейное однородное уравнение второго порядка, зная частное решение:

Зная фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, решите методом вариации постоянных заданные линейные неоднородные уравнения: