Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

§ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1. Линеаризация уравнений и систем уравнений.

Во многих, практических задачах как сами изучаемые функции, так и их производные принимают настолько малые значения, что их квадратами, кубами и т. д. можно пренебречь. Это позволяет заменить произвольные зависимости между величинами линейными зависимостями. Применяя указанную операцию линеаризации к правым частям дифференциальных уравнений, описывающих соответствующий процесс, получаем дифференциальное уравнение, в которое как сами искомые функции, так и их производные входят линейно. Такие уравнения называются линейными уравнениями.

Определение. Дифференциальное уравнение порядка с искомой функцией у называется линейным, если искомая функция и ее производные входят в него линейно.

Общий вид дифференциального уравнения порядка таков:

Здесь функции, непрерывные на некотором промежутке X. Если на этом промежутке коэффициент отличен от нуля, то уравнение (1) можно заменить уравнением

где для краткости положено .

Уравнения вида (2) называют приведенными. Функцию называют свободным членом уравнения (1). Если она

тождественно равна нулю, то уравнение (1) называют однородным линейным дифференциальным уравнением порядка. В противном случае это уравнение называют неоднородным. Например, неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка, а соответствующее ему однородное линейное дифференциальное уравнение (также имеющее второй порядок).

Систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка с искомыми функциями в развернутом виде записывают так:

Обозначим вектор-столбец с элементами через у, вектор-столбец с элементами через а матрицу с элементами через

Тогда система (3) запишется так:

Теория линейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений является важной областью математического анализа.