Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Глава XIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА§ 88. ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ. ПРИНЦИП ФЕРМАДо сих пор мы рассматривали одномерное движение волны, т. е. считали ее плоской. Теперь перейдем к изучению законов распространения волн в трехмерном пространстве. В общем случае для этого необходимо решать волновое уравнение с соответствующими граничными условиями, что является весьма сложной математической задачей. Ее решению посвящено так много работ, что они составляют сейчас значительную часть специального раздела математики, который называется «уравнения математической физики». Существует, однако, важный частный случай, когда длина волны поля много меньше всех характерных размеров системы. Волна распространяется тогда подобно пучку частиц, движущихся по определенным траекториям — лучам. Отсюда и название этого приближения — геометрическая оптика. Простейший пример такого движения — плоская волна, которую можно рассматривать как пучок параллельных лучей, ортогональных волновому фронту. Плоская монохроматическая волна характеризуется, как известно, постоянным волновым вектором к и частотой
Мы добавили здесь также условие для скорости изменения частоты, которое обеспечивает приближенную монохроматичность волны. Иначе говоря, в приближении геометрической оптики на небольших участках волну всегда можно рассматривать как плоскую. Любое волновое поле можно записать так:
где действительные функции
Это выражение аналогично фазе плоской волны
Точность этого приближения определяется следующими членами выражения (88.3), которые, как легко проверить, малы при условии (88.1). Вектор к определяет направление луча и в общем случае является переменным, что аналогично движению частицы по криволинейной траектории. Оказывается, что эту механическую аналогию можно продолжить и дальше, а именно, можно написать уравнения движения волнового пакета в форме уравнений механики частиц. Рассмотрим вначале простой пример — движение луча света в атмосфере планеты. Вследствие убывания плотности атмосферы с высотой возникает градиент ее показателя преломления. Так как величина Из этого примера ясно, что градиент показателя преломления играет роль «силы», искривляющей траекторию волнового пакета. Значит, сам показатель преломления можно связать с «потенциальной энергией». Чтобы проследить дальше эту механическую аналогию, напомним, что согласно квантовой механике частота волны пропорциональна энергии фотона, а волновой вектор — его импульсу. Уравнения механики можно записать в так называемой гамильтоновой форме:
где есть не что иное, как второй закон Ньютона, тогда как второе дает связь между скоростью и импульсом. Оптико-механическая аналогия наводит на мысль, что частота волны, представленная как функция координат и волнового вектора, должна играть роль функции Гамильтона. Иными словами, можно думать, что движение волнового пакета в приближении геометрической оптики описывается гамильтонианом
Уравнения движения принимают вид
Второе из этих уравнений нам уже знакомо — оно определяет групповую скорость пакета вдоль траектории, а первое описывает формулу луча. При вычислении производной
Отсюда
С другой стороны, дифференцируя равенство юга
Тогда «механические» уравнения движения волнового пакета можно представить как:
Траекторию луча удобно описывать в переменных
Так как вектор
где
Рис. XIII.1. Искривление луча в среде с градиентом показателя преломления.
Рис. ХIII.2. К выводу закона преломления из принципа Ферма, Применим последнее уравнение к рассмотренному выше простому примеру. Так как радиус кривизны траектории
где Пусть волна идет из первой среды во вторую и
Для углов падения с системами, у которых полная энергия равна сумме потенциальной и кинетической. Это не мешает, однако, использовать механические уравнения движения волнового пакета (88.7) или (88.12). Уравнение луча можно получить и из совершенно других соображений. Еще во второй половине XVIII в. известный французский математик Ферма сформулировал принцип, согласно которому траектория светового луча между двумя заданными точкам» А, В соответствует минимуму интеграла
Этот интеграл можно переписать также в виде
так как Для однородной среды Задача. Получить закон преломления из принципа Ферма. Оптическая длина пути
Дифференциалы обеих величин равны нулю, так как
откуда
|
1 |
Оглавление
|