§ 142. КВАНТОВАЯ ГЕНЕРАЦИЯ

Для осуществления непрерывной генерации необходимо кроме усиления излучения ввести каким-либо способом положительную обратную связь, т. е. вернуть обратно часть волнового потока, прошедшего сквозь активную среду и усиленного ею. Если коэффициент усиления К, а коэффициент обратной связи , где — интенсивность (мощность) падающей волны, то интенсивность на выходе

При величина неограниченно возрастает, что означает переход от режима усиления к режиму генерации. Поэтому равенство

и есть известное в радиотехнике условие генерации. Для создания обратной связи активную среду помещают в резонатор, конструкция которого зависит от длины волны излучения — объемный резонатор СВЧ (мазеры) или открытый резодатор из двух зеркал (лазеры) . В дальнейшем будем рассматривать резонатор длины (вдоль направления излучения), одна из торцевых стенок которого

является полупрозрачной для излучения с коэффициентом отражения или имеет соответствующее выходное отверстие. Для простоты пренебрежем всеми потерями в резонаторе, кроме полезного излучения.

Задача 1. Рассмотреть баланс энергии в резонаторе в установившемся режиме генерации.

В отсутствие активной среды энергия поля в резонаторе затухает как где — добротность резонатора (см. § 52), связанная с излучением из резонатора. Поскольку в этом случае то

С учетом интенсивности излучения активной среды баланс энергии имеет вид

В установившемся режиме

где — время затухания мощности в резонаторе, связапное с шириной резонансной кривой (полоса пропускания резонатора соотношением

(см. (142.14) ниже).

Обычно ширина пропускания резонатора гораздо меньше — ширины линии спонтанного излучения (с учетом доплеровского уширения). Более того, обычно много больше расстояния между соседними продольными модами в резонаторе (см. § 76). Поэтому, во-первых, усиление волны (генерация) в резонаторе может происходить сразу на нескольких модах, лежащих в полосе , а во-вторых, ширина каждой моды будет определяться резонатором Схематически эта зависимость показана на рис. XXIV.1. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением одномодового режима генерации (в центре линии спонтанного излучения), когда все остальные моды каким-то способом подавлены (см. § 144), и состоянием с одной поляризацией.

Определим мощность излучения квантового генератора в установившемся режиме. Будем по-прежнему описывать процесс накачки уравнением (141.13), в котором теперь нужно заменить на так как в резонаторе имеется два встречных потока примерно одинаковой интенсивности (см. ниже). Поскольку потери на полупрозрачном зеркале равны то, считая из (141.15) получим условие стационарной генерации в виде

Рис. XXIV.1. Ширины линий спонтанного и индуцированного излучений в квантовом генераторе.

Рис. XXIV.2. Диффузия фазы когерентного поля.

где а плотность насыщения теперь (ср. (141.14)). Отсюда полная мощность излучения квантового генератора в стационарном режиме

где — площадь поперечного сечения потока излучения; V — объем активной среды. Последнее приближенное выражение справедливо при условии

Из соотношений (142.7) и (141.14) находим равновесное значение инверсии, соответствующее режиму стационарной генерации

Отсюда при получаем пороговое значение инверсии

Спектр излучения квантового генератора является непрерывным вследствие влияния неустранимых шумов теплового излучения в резонаторе и спонтанного излучения. Вид спектра можно найти следующим образом.

Будем описывать когерентное и шумовое ноля в резонаторе с помощью комплексных векторов Екот, соответственно (рис. Фаза шумового поля является случайной, поэтому среднеквадратичный сдвиг фазы когерентного поля под действием слабого шума . Это приводит к диффузии фазы когерентного поля со скоростью

где — интенсивность шума, — полная энергия шума в рассматриваемой моде колебаний резонатора. Распределение по является в этом случае гауссовым с дисперсией

Если бы смещение фазы не росло со временем, то колебания имели бы строго монохроматическую компоненту (см. (80.15)). Диффузия же фазы приводит к чисто непрерывному спектру (стохастическое поле) — см. задачу 2.

Задача 2. Найти спектр стационарных колебаний со средней частотой фаза которых диффундирует с постоянной скоростью

Считая амплитуду колебаний единичной, найдем их корреляционную функцию (см. § 80)

Как и при получении формулы (80.15), заменим интегрирование по времени интегрированием по функции распределения

где — нормировочный множитель. В результате получаем

т. е. корреляция убывает экспоненциально со временем. Производя фурье-преобразование функции корреляции, получим спектр мощности

Определим эффективную ширину спектра условием откуда

где 7 — скорость экспоненциального затухания корреляции.

Полученные соотношения верны для любого экспоненциально затухающего процесса, например для затухания свободных колебаний резонатора. Действительно, пусть поле в резонаторе затухает по закону Тогда корреляции откуда

— время затухания мощности колебаний в резонаторе. То же справедливо и для спонтанного излучения с заменой на те — время затухания вероятности возбужденного состояния.

Для определения ширины линии квантового генератора нам осталось только найти отношение Два источника шума в резонаторе не могут быть устранены в принципе: тепловое излучение с температурой резонатора Т и спонтанное излучение возбужденных атомов. Поскольку мы рассматриваем одномодовые колебания, то для первого источника (см.

(141.2)), для второго

где — число квантов когерентного излучения в одной моде (ср. (141.7)). Поясним, что в (141.7) рассматривается термодинамически равновесная ситуация, когда тогда как (142.15) относится к резко неравновесной ситуации (инверсия), когда число квантов в моде 1, а Собирая соотношения (142.10), (142.13), (143.15), найдем ширину линии излучения квантового генератора:

Поскольку выражение для справедливо лишь при условии то из (142.16) следует, что

Обычно поэтому первое слагаемое в скобках существенно только в том случае, когда оно много больше единицы Оба слагаемых сравниваются при некоторой критической температуре:

Здесь использовано соотношение (142.9) для

При ширина линии определяется спонтанным излучением:

Следует иметь в виду, что — плотность активных атомов, как правило, много меньше плотности среды.

Излучение квантового генератора, помимо высокой монохроматичности , обладает узкой направленностью, определяемой дифракцией на выходном зеркале резонатора.

По порядку величины телесный угол, в котором сосредоточено излучение, равен (см. задачу 3).

Задача 3. Найти плотность потока излучения квантового генератора вблизи его максимума.

Примем, что интенсивность излучения постоянна по всей площади выходного зеркала. Тогда фурье-компонента поля излучения в плоскости

Максимум излучения соответствует и равен

Отсюда плотность интенсивности излучения

так как

Излучение квантового генератора, как и всякое излучение с непрерывным спектром, можно характеризовать определенной температурой Она находится приравниванием плотности излучения генератора планковской плотности теплового равновесного излучения (141.2). Учитывая, что и используя (141.3), для найдем

Отсюда, в частности, опять получается формула Найквиста которая отличается от выражения для тёмпературы внутри резонатора множителем 1/2, поскольку вне резонатора излучение направлено только в одну сторону.

Подставляя в (142.19) значение из (142.16), получим

В случае имеем любопытное соотношение

Температура излучения квантового генератора определяет максимальную температуру, до которой можно нагреть какое-либо тело. Эта максимальная температура достигается, если нагреваемое тело может излучать только в очень узком интервале частот и телесном угле