§ 109. ГОЛОГРАФИЯ ФУРЬЕ

Рассмотрим вначале вариант голографии Фурье, в котором используется линза (рис. XVII.6). В ее передней фокальной плоскости располагают предмет и точечный источник, а фотопластинку помещают в заднюю фокальную плоскость. Примем, что передний фокус линзы совпадает с точкой, где находится опорный источник. На рис. XVII.6, а показан вариант схемы для записи голограммы непрозрачного предмета, когда свет лазера падает на предмет и зеркало, отклоняющее свет так, что освещается точечное отверстие Рис. XVII.6, б поясняет действие схемы на примере точечного предмета: за линзой образуются две плоские волны — одна от предмета, другая от опорного источника, они интерферируют, образуя на фотопластинке интерференционную картину, как в схеме Юнга.

В общем случае протяженного предмета поле на фотопластинке найдем, воспользовавшись интегралом Кирхгофа. Перед линзой в плоскости

Здесь -поле волны на поверхности предмета, -поле волны, отраженное предметом, интеграл берется по поверхности предмета , а — поле опорного источника. Последнее

Рис. XVII.6, Схема записи голограммы непрозрачного предмета (а) и ее эквивалентная схема — зеркало, — отверстие в непрозрачном экране, О — предмет, — линза, Р — фотопластинка.

Рис. XVII.7. Схема восстановления изображения в голографии Фурье.

преобразуется линзой в плоскую волну, амплитуду которой обозначим Множитель можно опустить, так как в конечном счете он дает только некоторый общий фазовый сдвиг в поле восстановленной волны, что не влияет на формирование изображения. Поле волны от предмета преобразуется в соответствии с (108.2), и в плоскости фотопластинки получим

Вычисляя распределение интенсивности по фотопластинке и амплитудное пропускание аналогично (107.3) в приближении найдем

Таким образом, голограмма содержит запись фурье-образа поля рассеянного предметом. Поэтому при восстановлении изображения неизбежна операция обратного фурье-преобразования, а соответствующая оптическая схема (рис. XVII.7) состоит из голограммы, освещаемой плоской монохроматической волной и объектива, в фокальной плоскости которого и возникает восстановленное изображение. Рассмотрим это подробнее.

Поле в фокальной плоскости объектива согласно (108.2)

Подставляя сюда (109.3), (1139.2), (109.1) и переобозначая коэффициенты, найдем

Дополним до полного квадрата по

и проинтегрируем по Вспомнив значение интеграла и включив появляющиеся при интегрировании коэффициенты в А, получим

Таким образом, в точках экрана возникает волновое поле — такое же, как на поверхности предмета, а в точках — комплексно сопряженное с ним поле Что это означает, проще всего понять, выбрав в качестве предмета точку с координатой Тогда — действительная функция, а в точках получим изображения точки Обобщая этот результат на протяженный предмет, приходим к выводу, что по обе стороны от оси возникают два симметричных изображения предмета (см. рис. XVII.7). Линейное увеличение изображений Фазовый множитель в (109.7) вклада в интенсивность не дает. Его действие эквивалентно действию рассеивающей линзы с фокусным расстоянием однако «линза» вплотную приставлена к экрану, т. е. не дает увеличения. Константа В — яркостный коэффициент: интенсивность поля в точке-изображении в 1512 раз больше, чем в точке-предмете.

Применение линзы при записи фурье-голограммы необязательно (рис. XVII.8 и задачи 1—3).

Задача 1. Получить уравнение голограммы по схеме записи, показанной на рис. XVII.8 .

Поле на поверхности голограммы запишем в виде

где — поле волны, рассеянной предметом, — поле волны точечного опорного источника. Тогда уравнение голограммы имеет вид

Рис. XVII.8. Схема записи в безлинзовой голографии Фурье.

Задача 2. Восстановить изображение голограммы (109.8), используя схему рис. XVI 1.7.

В этом случае

Интегрируя по переменной получим

Этот результат аналогичен (109.7): в точках возникают изображения точки х предмета.

Задача 3. При восстановлении голограммы в задаче 2 используется источник с длиной волны X. Как изменится восстановленное изображение?

В соотношениях, описывающих выше процесс восстановления, нужно в выражениях для восстанавливающей волны заменить к на к. В результате аналогичных вычислений получим

т. е. линейное увеличение изображения возрастает в раз.

Безлинзовая голография позволяет осуществить запись голограмм вне оптического диапазона (рентген, СВЧ, акустические волны) с восстановлением изображения в видимом свете (см. § 113).

Необходимость применения точечного источника в голографии Фурье естественно приводит к трудностям, связанным с ограниченностью его яркости. Оказывается, что требование точечности источника можно снять, если в качестве опорного использовать источник, удовлетворяющий некоторым специальным требованиям.