§ 117. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Энергетическими характеристиками электромагнитного полй являются плотность энергии и плотность потока энергии (см. § 55):

Величины не образуют, однако, 4-вектор, хотя они и похожи на 4-вектор тока и даже удовлетворяют уравнению непрерывности (см. § 55) , которое выражает закон сохранения энергии. Существенное отличие состоит в том, что электрический заряд есть инвариант, а энергия является четвертой компонентой вектора энергии-импульса. Поэтому наряду с плотностью и потоков энергии существуют плотности и потоки трех компонент импульса поля, а величины являются компонентами некоторого 4-тензора

квадратичного по напряженностям полей. Такой тензор можно записать в виде

Однако его элемент содержит только часть полной нлотности энергии. Это связано с Несимметрией тензора относительно замены Е на Н. Поэтому тензор энергии-импульса электромагнитного поля нужно взять в виде суммы тензора и дуального к нему тензора

Тогда Дает правильное значение плотности энергии. Аналогично можно проверить, что величины содержат компоненты вектора Пойнтинга Тензор (117.3) можно записать в более удобном виде:

Пространственная часть этого тензора

называется тензором натяжений Максвелла.

Таким образом, тензор энергии-импульса электромагнитного оля можно представить в виде матрицы со следующей структурой:

Выясним теперь физический смысл всех компонент тензора. Поскольку тензор является симметричным, сохраним для определенности обычную интерпретацию вектора Пойнтинга (как плотности потока энергии) для вектора расположенного в четвертом столбце тензора (117.7). С учетом множителя с элементы матрицы Та, описывают плотность потока четвертой

компоненты вектора энергии-импульса. Тогда компоненты — описывают плотность -компоненты потока для -компоненты импульса. Например, есть плотность потока -компоненты импульса вдоль оси у. Но плотность потока импульса равна давлению (поля) на поверхность, а та же плотность, взятая с обратным знаком, — натяжению. Отсюда и название тензора (117.6). При такой интерпретации элементы четвертой строчки тензора должны описывать четвертые компоненты 4-вектора плотности потока энергии-импульса, которые равны плотности соответствующей компоненты энергии-импульса, умноженной на (сравни с 4-вектором тока ). Отсюда плотность импульса электромагнитного поля

Таким образом, вектор Пойнтинга характеризует не только плотность потока энергии, но и плотность его импульса.

Наконец, элемент Ты есть четвертая компонента вектора потока энергии-импульса:

Задача 1. Найти преобразования Лоренца для плотности энергии и плотности потока энергии электромагнитного поля.

Используя (115.8), запишем

Подставив значения , найдем

Аналогично получим соотношения для компонент вектора Пойнтинга

Таким образом, знания только величин и недостаточно, чтобы вычислить их значения в другой инерциальной системе — нужно знать поля Е и Н или компоненты тензора.

Задача 2. Найти тензор натяжений электрического поля.

Выбрав направление оси х вдоль вектора Е, получим

Этот результат совпадает с (18.2) и означает, что на площадку, параллельную плоскости действует сила натяжения, направленная вдоль поля а на площадки, параллельные плоскостям действуют силы давления, направленные поперек поля