§ 115. ТЕНЗОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Поля потенциалы связаны соотношениями (63.2), (63.3) через дифференциальные операторы, причем компоненты магнитного поля выражаются через производные пространственной части 4-вектора по пространственным координатам

а компоненты электрического поля — через производные пространственной части по временным координатам и временной части по пространственным координатам

Условимся греческим индексам приписывать значения 1, 2, 3, а латинским 1, 2, 3, 4.

Компоненты поля образуют тензор электромагнитного поля

который можно записать в виде матрицы

Тензор поля является антисимметричным:

Для того чтобы найти закон преобразования компонент поля при переходе из одной системы отсчета в другую, удобно записать

преобразования Лоренца для произвольного 4-вектора

с помощью матрицы

V — скорость движения системы относительно системы . В соотношениях (115.5) и ниже знак суммы опущен, и считается, что при повторении индексов подразумевается суммирование. Матрицу обратного преобразования получим, сменив знак скорости V. Отметим, что а элементы прямой (а) и обратной матриц связаны соотношениями

Чтобы получить закон преобразования тензора поля (115.3), найдем вначале преобразование дифференциального оператора

Последнее выражение показывает, что дифференциальный оператор преобразуется так же, как и любой другой 4-вектор. Отсюда

Расписав компоненты тензора через напряженности полей (115.4), найдем из (115.8) в явном виде преобразования Лоренца для электромагнитного поля

Из этих соотношений видно, что при переходе из одной системы в другую сохраняются неизменными продольные компоненты поля, а поперечные преобразуются. Вводя векторы

где — орты, можно (115.9) представить в компактном виде:

Здесь мы использовали соотношения .

Для нерелятивистских скоростей получаем Первое выражение есть не что иное, как сила Лоренца для единичного заряда (заряд покоится в «нештрихованной» системе, отсюда знак минус), а второе следует из

уравнений Максвелла для Н. В § 29 эти результаты получены другим путем — через преобразование силы.

Из соотношений (115.10) нетрудно получить одно важное следствие: если в какой-либо системе магнитное поле равно нулю, то в другой системе поля взаимно ортогональны и связаны между собой равенством

где Р — скорость движения системы, в которой . В частности, это означает, что у системы зарядов, движущихся с одинаковой скоростью (например, пучок или сгусток заряженных частиц), электрическое и магнитное поля удовлетворяют уравнению (115.11).

Аналогично, если то . Последнее справедливо, например, для движущегося сверхпроводника с током (в системе, где сверхпроводник покоится,

Задача. Проверить справедливость соотношения (115.11) для случая однородного цилиндрического пучка заряженных частиц, движущихся с одинаковой скоростью

Если — ток пучка, а — радиус сечения, то Е имеет только радиальную компоненту

только азимутальную компоненту

Отсюда