§ 98. ПРИНЦИП ГЮЙГЕНСА — ФРЕНЕЛЯ

В предыдущем параграфе мы представили волну, вырезанную щелью в экране, в виде плоских волн с различными и проследили их распространение за экраном. Тот же результат можно получить и в результате иного подхода к этой задаче. Для описания распространения света Гюйгенс предложил некий механизм формирования фронта сферической волны, состоящий в следующем. Если принять, что каждая точка поверхности фронта волны (поверхности постоянной фазы является источником новой сферической волны с центром в этой точке, то поле в последующие моменты времени определяется суперпозицией волн от таких элементарных источников, а положение фронта— огибающей элементарных (сферических) волн. Основанием для этого приема служит простое и ясное физическое толкование явления: преградим путь волне непрозрачным экраном с «точечным» отверстием, тогда за экраном получим сферическую волну с центром в отверстии. Суперпозиция таких «точечных» источников и есть фронт начальной волны, а суперпозиция сферических волц — «вторичная» волна (рис. XV.5). Дальнейшее развитие этого принципа Френелем, добавившим к картине Гюйгенса интерференцию «волн-слагаемых», и придание Кирхгофом этой картине математического описания привели к созданию теории дифракции.

Рассмотрим теперь трехмерпую задачу — дифракцию волны на отверстии произвольной формы, и не будем ограничиваться случаем плоской начальной волны. В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля поле в точке Р за экраном (рис. ХV.6) есть суперпозиция сферических волн, исходящих из различных точек отверстия в экране:

Рис. XV.5. Образование фронта волны по Гюйгенсу.

Рис. XV.6. К описанию дифракции на отверстии в плоском экране.

где — напряженность поля в точке отверстия, А — коэффициент, подлежащий определению. Расстояние между точкой-источником и точкой Р

Для нахождения коэффициента А устремим размеры отверстия в экране к бесконечности. Конечно, как и всегда, мы должны определить здесь физический масштаб бесконечности («по сравнению с чем»). Это мы сделаем несколько позже. Сейчас же заметим, что если волна перед экраном плоская, то при поле в точке Р также будем полем той же плоской волны, так что

Принимая для приближение (98.2), что, как увидим ниже, не противоречит «бесконечным» размерам отверстия, найдем

Интеграл в этом соотношении имеет следующее значение:

Таким образом, и поле в точке Р описывается соотношением

которое носит название интеграла Кирхгофа и представляет собой решение задачи о дифракции электромагнитной волны на экране с отверстием

Отметим одну существенную особенность полученного выражения: оно содержит множитель что соответствует сдвигу фаз между реальным полем в отверстии экрана и полем воображаемых точечных источников, которыми мы заменяем реальное поле в соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля. На это обстоятельство обратил внимание еще Френель, обнаруживший, что построение Гюйгенса для фронта вторичной волны (см. рис. XV.5), проводимое с учетом сдвига фаз и интерференции, дает правильный результат, если «принудительно» ввести сдвиг фаз в поле источников по отношению к полю первичной волны.

Теперь выясним справедливость наших приближений. Мы приняли при вычислении А, с одной стороны, а с другой стороны, (см. (98.2)). Эти требования не противоречивы, так как, на самом деле, нужно, чтобы к бесконечности стремился фазовый множитель т. е. величины х и у становились большими по сравнению с длиной волны . В то же время величина слабо меняется при изменении х, у, если Поэтому для знаменателя в (98.3), (98.5) можно принять

Представим теперь разложение (98.2) в виде

Если размеры отверстия в экране достаточно малы по сравнению с расстояниями т. е.

а точка наблюдения Р расположена достаточно близко от оси, так что

мы приходим к случаю, описанному в предыдущем параграфе. Действительно, компоненты вектора к можно выразить через координаты точки наблюдения:

и записать показатель экспоненты в (98.5) в виде

Тогда поле в точке Р описывается выражением, содержащим фурье-образ по волновым числам от поля в отверстии,

Отметим, что фазовый множитель перед интегралом в (98.10) не влияет на распределение интенсивности в дифракционной картине. Если к тому же справедливы условия (98.8) и квадратичными членами в показателе экспоненты можно пренебречь, соотношение (98.10) есть не что иное, как разложение поля в отверстии по плоским волнам. В частности, для отверстия в виде щели (одномерный случай) множитель в интеграле Кирхгофа (98.5) следует заменить:

что соответствует переходу от разложения по сферическим волнам к разложению по цилиндрическим волнам. Тогда из (98.10) имеем

Модуль этого выражения в точности совпадает с результатом (97.8), полученным в приближении плоских волн. Однако теперь найдено полное решение, учитывающее фазу дифрагированной волны.

Итак, интеграл Кирхгофа, являющийся математическим выражением принципа Гюйгенса — Френеля, может быть представлен в приближенном виде, существенно облегчающем вычисления, в двух важных частных случаях. Первый из них есть не что иное, как параксиальное приближение, или разложение по расходящимся сферическим волнам,

Второй случай — приближение Фраунгофера, или разложение по плоским волнам

Напомним, что при переходе к двумерному случаю (разложение по цилиндрическим волнам) множители перед интегралами в (98.13), (98.14) следует заменить согласно (98.11). Если же дифракционная картина наблюдается в фокальной плоскости объектива, расстояние до экрана следует заменить на фокусное расстояние

Решение задачи дифракции в параксиальном приближении (98.13) носит название дифракции Френеля.