§ 139. РАССЕЯНИЕ ВОЛНЫ СИСТЕМОЙ ЗАРЯДОВ

При рассеянии волны на зарядах, образующих некоторую систему конечных размеров, волны, рассеянные отдельными зарядами, интерферируют, что приводит к перераспределению потоков в пространстве и усилению или ослаблению полного рассеянного потока в зависимости от параметров системы и падающей волны.

Рассмотрим, например, рассеяние волны, испускаемой точечным источником, на двух одинаковых зарядах (рис. XXIII.3). Пусть расстояние между зарядами много меньше расстояния от зарядов до источника I, а волна поляризована так, что вектор Е лежит в

Рис. ХХIII.3. Рассеяние волны системой из двух зарядов.

плоскости рисунка. Тогда волновой фронт вблизи зарядов квазиплоский, а поле в потоке, рассеянном под углом в,

Повторяя преобразования (137.2) -(137.4), найдем дифференциальное сечение рассеяния:

При это выражение совпадает с сечением рассеяния волны точечным зарядом :

(Заметим, что при выражении для а следует произвести разложение до в числителях дробей.) В этом случае система из двух зарядов рассеивает как один заряд, т. е. когерентно. Для конечного значения имеем типичный случай интерференционного рассеяния. В частности, возможно некоторое уменьшение полного сечения: например при полное сечение в рассмотренном примере

При достаточно большом расстоянии между зарядами полное сечение только вдвое больше сечения рассеяния на одном заряде, как если бы заряды рассеивали независимо, это результат усреднения (139.2) по телесному углу. Угловое распределение рассеянного излучения при любом имеет некоторую интерференционную структуру, однако ее угловой размер уменьшается с ростом и она легко «замывается» любыми возмущениями.

В рассмотренном примере схема рассеяния в точности повторяет схему Юнга (см. § 92). Поэтому здесь можно использовать знакомые уже представления о когерентности источника. Если, например, источник излучает на частоте в полосе то волны, рассеянные под углом не интерферируют, если

Рис. XXIII.4. Схема опытов Лауз, — рентгеновская трубка; свинцовые диафрагмы; К — кристалл; Ф — фотопластинка.

т. е. разность хода лучей на данном направлении превосходит длину волнового пакета. Если схема несимметрична, так что на пути волны от источника до зарядов «набегает» разность хода 81, рассеяние может происходить полностью некогерентно, если

Обобщая рассмотренный пример на случай системы зарядов с характерным размером а, можно выделить три случая:

— когерентное рассеяние,

— интерференционное рассеяние,

— некогерентное рассеяние.

Для системы неподвижных зарядов некогерентным является только полное сечение рассеяния, тогда как дифференциальное сечение остается когерентным, как отмечено выше. Если же заряды движутся внутри области размера а, то когерентность рассеяния пропадает вплоть до значений а вследствие усреднения по различным расположениям зарядов (см. ниже).

Функция имеет тот или иной конкретный вид в зависимости от расположения и характера движения зарядов. Важным примером интерференционного рассеяния является дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке. Дифракционный (интерференционный) характер рассеяния рентгеновских лучей в кристаллах был обнаружен в экспериментах (рис. XXIII.4) немецкими физиками Лауэ, Фридрихом и Книппингом. Рассеянный поток рентгеновских лучей регистрировался фотопластинкой, и распределение интенсивности носило типично дифракционный характер — острот локализованные максимумы. На рис. XXIII.5 приведена рентгенограмма молекулы ДНК — пример результатов современных рентгеноструктурных исследований. Механизм такого рассеяния объяснен Лауэ. Он показал, что рассеяние рентгеновского излучения в кристалле аналогично дифракции электромагнитной волны на трехмерной дифракционной решетке. Рассмотрим этот процесс подробнее.

Представим себе кристалл в виде трехмерной решетки, в узлах которой находятся атомы (ионы). Для простоты будем считать, что электронная оболочка иона рассеивает падающую волну изотропно.

Если — волновые векторы падающей и рассеянной волн, то разность фаз в волнах, рассеянных атомами А и О (рис. XXIII.6), равна

Интенсивность рассеянной волны

Рис. ХХIII.5. Рентгенограмма молекулы ДНК (натриевая соль получеппая в монохроматическом пучке рентгеновского излучения, вырезанном из потока СИ накопителя ВЭПП-З ИЯФ СО АН СССР (1974 г.) Схема монохроматизации представлена на рис. ХХIII.8.

где — интенсивность волны, рассеянной отдельным атомом решетки, а сумма берется по всем рассеивающим атомам. Таким образом, интенсивность пропорциональна квадрату фурье-компоненты кристаллической решетки. Направление максимума рассеянного излучения определяется условием

где — любые целые числа (вообще говоря, разные для разных

Рассмотрим простейший случай трехмерной решетки, элементарная ячейка которой представляет собой прямоугольный параллелепипед со сторонами . Тогда условие (139.7) принимает вид Все три эти условия должны выполняться одновременно, что и приводит к образованию узких максимумов — пятен (см. рис. XXIII.5). В рентгеноструктурном анализе их принято называть рефлексами, т. е. отражениями. В частности, если вектор имеет только одну компоненту (например, — случай А на рис. XXIII.7 или только — случай В), условие (139.7) принимает вид

Последнее соотношение, носящее название условия Вульфа — Брэгга, получено русским физиком Вульфом и независимо

Рис. XXIII.6. К расчету дифракции рентгеновских лучей на кристалле. Штриховой линией показаны фронты падающей и рассеянной волн.

Рис. XXIII.7. Условие Вульфа — Брэгга для рассеянной волны на кристалле.

английским физиком Брэггом (мл.) (1913 г.). Мы уже встречались с этим условием при обсуждении объемной голографии (см. § 110).

Дифракция рентгеновских лучей в веществе позволяет расшифровать его структуру. Соответствующие экспериментальные методы мы обсудим в следующем параграфе.

Рассмотрим теперь влияние беспорядочных тепловых колебаний атомов в кристалле при температуре Т. В показателе экспоненты (139.6) появляется дополнительное изменение фазы где — случайное смещение атома, сферически симметричное по гауссовому закону с дисперсией Тогда также имеет гауссовское распределение с дисперсией и можно воспользоваться результатом, полученным в § 80 (см. Согласно этому результату, интенсивность когерентного рассеяния ослабляется:

Описанный эффект ограничивает длину волны рентгеновского излучения:

Рассеяние электромагнитной волны в аморфной среде имеет совершенно другой характер. Например, в простейшем случае газа хаотическое движение молекул не ограниченно, и, согласно (139.9), интенсивность когерентного рассеяния равна нулю Интенсивность некогерентного рассеяния получим из (139.6) в предположении, что — случайные независимые величины (это справедливо для достаточно разреженного газа). Тогда

где — полное число молекул газа, т. е. каждая молекула рассеивает независимо.

Отметим, что в жидкости рассеяние уже не является полностью некогерентным, поскольку в ней имеется так называемый ближний порядок, т. е. положение близких молекул сильно скоррелировано.

Явление рассеяния непосредственно связано с давлением света (см. § 118). Действительно, при рассеянии волны на заряде последний испытывает действие силы где — плотность импульса поля (117.8) в падающей плоской волне:

Средняя по времени сила

Отметим, что симметрия рассеянного излучения (равенство нулю импульса, уносимого рассеянным излучением) приводит к тому, что давление волны на заряд определяется силой торможения, что прямо показано в следующей задаче.

Задача 1. Получить выражение для силы, действующей на покоящийся заряд, рассеивающий плоскую линейно поляризованную волну.

Поскольку скорость заряда сила, действующая на заряд,

где Е, Н — поле падающей волны. Отсюда

что совпадает с (139.12).

Задача 2. На систему зарядов из покоящихся электронов, равномерно распределенных вдоль оси у на длине падает плоская линейно поляризованная волна, вектор к которой лежит в плоскости и составляет угол с осью вектор Е направлен по оси х. Найти угловую зависимость сечения рассеяния в плоскости

Поле рассеянной волны

где — углы дадения и отражения соответственно, Здесь специально сохранен параметр а из § 100, чтобы подчеркнуть аналогию с дифракционной решеткой. Повторяя стандартную процедуру вычисления сечения, найдем

При это выражение переходит в знакомую формулу дифракции на апертуре (см. § 97):

Таким образом, рассеянное излучение в плоскости сосредоточено вблизи направлений в интервале углов Рассмотренная система зарядов является простейшей моделью зеркала.

Задача 3. Плоская монохроматическая волна рассеивается на электронном газе плотности Найти распределение по частоте в волне, рассеянной угол считая распределение электронов по скорости максвелловским с температурой Т.

Для рассеяния излучения на отдельном электроне, скорость которого составляет угол с направлением регистрации рассеянного излучения, запишем

Здесь — частота и волновое число соответственно для падающего и рассеянного излучения, со — частота в системе электрона. Отсюда

Типичным для таких задач диагностики плазмы является случай когда Интенсивность излучения, рассеянного электронным газом на угол в интервал частот найдем, просуммировав интенсивности потоков, рассеянных теми электронами, у которых направление и величина скорости удовлетворяют равенству

где — полярный угол между векторами и Для максвелловского распределения электронов по скоростям спектральная плотность интенсивности записывается в виде

где — элемент телесного угла в лабораторной системе, плотность потока падающего излучения, А, I — площадь поперечного сечения и толщина плазменного слоя. Дельта-функция под интегралом нормируется условием

Выполнив вначале интегрирование по , а затем по найдем

Измерив это распределение, можно найти электронную температуру.