§ 102. ДИФРАКЦИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Принцип Гюйгенса — Френеля применим не только для описания различных видов дифракции. Пользуясь этим принципом и его математической формой — интегралом Кирхгофа, можно рассчитать прохождение света через оптические устройства. В то же время учет дифракционных явлений позволяет выяснить предел применимости геометрической оптики и определить важнейшую характеристику оптических устройств — разрешение.

Тонкая лита (см. § 89) фокусирует плоскую волну в точку — фокус. В геометрической оптике это результат преломления лучей на сферических границах. Рассмотрим, как описывается действие линзы на языке волновых преобразований.

Пусть на линзу вдоль ее оси падает плоская монохроматическая волна. Пройдя через линзу, волна получает некоторый сдвиг фазы, величина которого зависит от расстояния точки фронта волны от оси линзы. В результате плоская волна перестает быть плоской — преобразуется в сходящуюся или расходящуюся (в зависимости от формы линзы) сферическую волну. Если линза ограничена двумя сферическими поверхностями радиусов то толщина линзы на расстоянии от оси (рис. XV.21)

Тогда сдвиг фазы, возникающей в результате прохождения волной

Рис. XV.21. К расчету прохождения плоской волны через тонкую линзу (показана половина линзы).

тонкой линзы, описывается соотношением

Здесь — показатель преломления материала линзы. Для простоты все вычисления проделаны для плоскости Таким образом, действие линзы описывается фазовым множителем и плоская волна с амплитудой пройдя линзу, превращается в «сферическую волну

(Здесь нас интересует только фаза волны.) Фазовый множитель не зависит от координат и поэтому не влияет на форму волнового фронта, так что в большинстве расчетов его можно не учитывать. Если то это сходящаяся волна, она фокусируется в точку, отстоящую от линзы на расстояние Если же то волна расходящаяся, ее центр — точка на расстоянии от линзы. Эти результаты получены в приближении которое есть не что иное, как известное уже параксиальное приближение (см. § 89). Именно в этом приближении волновой пакет

описывает сферическую волну (сравни (98.13)).

Призма поворачивает фронт волны на угол, величина которого определяется в геометрической оптике также преломлением лучей на границах. В волновом рассмотрении действие призмы описывается изменением фазы волны. Если угол при вершине равен а (рис. XV.22), то сдвиг фазы, возникающий при прохождении призмы,

Для призмы с углом а необходимо в выражении (102.5) заменить а на где — углы при вершине между стороной

Рис. XV.22. Прохождение плоской волны через призму.

Рис. XV.23. К расчету тонкой линзы.

призмы и высотой. Фронт волны соответствует условию Поскольку за призмой то угол поворота фронта

Тот же результат дают построения для лучей в приближении геометрической оптики.

Теперь применим интеграл Кирхгофа к построению изображения, получаемого с помощью тонкой линзы (рис. XV.23). Пусть точка А — предмет. Найдем поле в некоторой точке В, расположенной в плоскости, сопряженной с плоскостью предмета. Выберем систему координат так, чтобы предмет находился в плоскости , в точке . Поле от точечного источника А в плоскости линзы описывается, согласно (98.13), выражением, содержащим интеграл по плоскости предмета. Интегрирование дает

где — некоторая эффективная площадь «точечного» источника (обычно задан его поток энергии). Поле в точке аналогично:

интеграл берется по апертуре линзы Подставляя сюда найдем

Второе слагаемое в учитывает сдвиг фазы, вносимый линзой (см. (102.3)). Используя условие (89.15) для сопряженных плоскостей получим

где — добавка в фазе, не зависящая от переменных интегрирования. Приняв для простоты апертуру линзы квадратной по обеим координатам), произведя интегрирование и вычислив найдем интенсивность в точке В:

Как видим, входит в окончательный результат. Максимум интенсивности соответствует некоторой точке где что находится в полном соответствии с результатами геометрической оптики. Таким образом, точка А изображается в сопряженной плоскости в виде дифракционной картины, интенсивность которой имеет максимум в точке совпадающей с геометрическим изображением точки А.

Полученный результат позволяет обсудить дифракционные ограничения в оптических приборах. Эффективный размер изображения точечного предмета, согласно (102.8), соответствует значению или А Это и есть так называемое линейное разрешение линзы: два точечных предмета могут быть разрешены (различены) в плоскости изображения, если расстояние между центрами их изображений

В частном случае, когда расстояние от предмета до объектива намного превышает фокусное расстояние последнего, условию (102.9) можно придать вид

где — угловое разрешение линзы. Это типичная ситуация для телескопа, а также фотоаппарата.

Рассмотрим теперь разрешение микроскопа (рис. XV.24). Для него характерно обратное отношение и большая апертура Поэтому разрешение в плоскости объекта, получаемое непосредственно из углового разрешения (102.10),

Этот же результат можно получить и другим способом. Выберем в

Рис. XV.24. Схема микроскопа. А — предмет, — объектив; А — промежуточное изображение; В — мнимое изображение; — окуляр.

Рис. XV.25. К определению разрешающей способности микроскопа.

качестве предмета прозрачное тело, обладающее некоторой периодической структурой (рис. XV.25), и найдем минимальное значение периода этой структуры I, который еще присутствует в изображении. Свет, прошедший сквозь предмет и объектив, создает в фокальной плоскости объектива дифракционную картину типа (100.4). Если угловая апертура объектива то первый дифракционный максимум лежит под углом (см. (100.12), Из условия находим разрешение микроскопа

что совпадает с оценкой (102.11).

Можно несколько повысить разрешение микроскопа с помощью двух приемов. Во-первых, применять косое освещение предмета. Тогда в соответствии с (100.12) следует заменить на и вместо (102.12) получим

Это дает выигрыш примерно в два раза. Во-вторых, можно заполнить пространство между предметом и объективом иммерсионной (от англ. immersion — погружение) жидкостью с коэффициентом преломления что уменьшает в раз длину волны перед объективом, величина которой и входит в (102.13). Таким образом, разрешение микроскопа ограничено длиной волны света, который используется для освещения предмета. Радикальным решением является переход к «освещению» быстрыми электронами. В этом случае поток электронов ведет себя как свет с длиной волны где — постоянная Планка, — импульс электрона. Даже при довольно скромной энергии электронов эффективная длина волны Предельное разрешение такого

микроскопа по-прежнему можно оценивать по формуле (102.13). В электронных микроскопах Поэтому в приведенном

примере теоретическое разрешение Реально разрешение еще в несколько раз хуже из-за аберраций электронно-оптической системы микроскопа. Отметим, что при косом освещении предмета электронным пучком с разрешение может значительно возрастать.