§ 126. ТОРМОЖЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЕМ

Излучение электромагнитного поля системой заряженных частиц приводит к механическому воздействию поля излучения и на саму систему, т. е. появляется некоторая сила «самодействия», Для ее вычисления можно поступить следующим образом: найти поле зоне частиц и выяснить характер силы, действующей на частицы с его стороны. Для этого воспользуемся выражением для электрического поля движущегося заряда (121.4), которое, раскрыв двойное векторное произведение, запишем в виде

Напомним, что все величины в правой части равенства даны в момент времени и нас интересует предел Используя ряд

и соотношения (см. рис. XIX.3)

разлагая функцию и оставляя, только члены, не исчезающие при получим

Прежде чем анализировать этот результат, отметим, что его можно получить и из запаздывающих потенциалов, производя должным образом их разложение и вычисляя поле (задача 1).

Задача 1. Получить выражение для поля (126.1) из запаздывающих потенциалов.

Произведем разложение потенциалов

по параметру где — характерная частота движения зарядов. В

результате разложения найдем

Разложение здесь оборвано на членах одного и того же порядка. Это можно проследить ниже в выражениях для поля. Применим теперь полученные выражения для случая точечного заряда где — радиус-вектор из начала координат в точку, где находится заряд в момент времени Введем также радиус-вектор из точки, где находится заряд, в точку наблюдений . Теперь

Второе слагаемое в исходном выражении для скалярного потенциала обратилось в нуль, так как

Теперь вычислим электрическое поле этих потенциалов, учитывая, что

Отбрасывая слагаемые порядка и выше, получим электрическое поле (126.1).

Первое из слагаемых в (126.1) является кулоновским полем заряда второе описывает дополнительное поле, связанное с ускорением частицы («инерция поля»), наконец, третье слагаемое дает тормозящую силу

Эта тормозящая сила — довольно «хитрая». Если попытаться найти закон движения заряда только под ее действием, проинтегрировав

уравнение движения

то получится нелепый результат: заряд самоускоряется, и его скорость возрастает экспоненциально с характерным временем так что

Объяснение парадоксу состоит в следующем. Выражение (126.2) справедливо при условии которое в случае самоускорения принимает вид , где — классический радиус частицы (например, электрона). Но при масса электрического поля частицы превышает ее полную массу (см. § 55), что недопустимо. Все это означает, что тормозящая сила не может быть «самостоятельной», а полученное для нее выражение справедливо, если только и производная по времени от ускорения частицы

Задача 2. Найти время жизни «атома Резерфорда» (протон, вокруг которого по круговой орбите радиуса вращается электрон).

Вспомнив кинематические соотношения для скорости, ускорения и производной ускорения заряда, вращающегося по окружности, ефсог, получим выражение для силы торможения

Движение электрона под действием силы торможения считаем медленным по отношению к, вращению, т. е. Тогда из уравнений движения

получим и время жизни атома Резерфорда см, .

Заметим, что требование малости тормозящей силы излучения по сравнению с внешними силами, как правило, хорошо выполняется. Действительно, если электрон под действием внешней силы совершает циклическое движение с характерной частотой то

если что соответствует электромагнитным волнам с см. Это очень жесткое рентгеновское

излучение (энергия кванта излучения ), для которого классическое приближение заведомо не работает, и нужно учитывать квантовый характер процесса излучения.

При обсуждении природы силы торможения излучением естественно возникает вопрос о балансе энергии. Для его выяснения вычислим мощность силы торможения

Первое слагаемое в случае стационарного движения, когда и изменяются в ограниченных пределах, обращается в нуль при так что

Таким образом, средняя по времени мощность силы торможения равна интенсивности излучения. Мгновенные значения разности этих величин могут быть и не равны нулю. Физически это означает, что поле излучения еще не оторвалось от заряда, взаимодействует с ним. Подобную ситуацию иллюстрирует задача 3.

Разницу между мощностью излучения и мощностью тормозящей силы (с обратным знаком, см. (126.3)) можно также интерпретировать как колебания энергии некоторого дополнительного («буферного») поля в неволновой зоне. Тогда полный баланс энергии имеет вид откуда

Задача 3, Частица с зарядом и массой пролетает через участок однородного электрического поля, совпадающего по направлению со скоростью частицы. Изменение скорости частицы за время пролета мало: Частица ускоряется в однородном поле и, стало быть, излучает. Однако ускорение частицы постоянно, поэтому и тормозящая сила отсутствует. Выяснить, выполняется ли в данном случае рассмотренный выше баланс энергии.

Производная ускорения, очевидно, отлична от нуля на границах участка с электрическим полем:

Здесь — моменты прохождения частицей границ поля. Границы приняты тонкими, т. е. протяженность областей нарастания и спада поля мала, так что или Работа силы торможения при пролете участца с полем

где время пролета. Нетрудно видеть, что , т. е. баланс энергии выполняется. Этот факт можно интерпретировать так: излучение не отрывается от частицы в течение всего времени ее равномерного ускорения .

В таких случаях говорят о длине формирования излучения. Здесь эта длина равна протяженности участка электрического поля

Задача 4. Кольцевой (тороидальный) пучок релятивистских электронов, циркулирующих в постоянном и однородном магнитном поле, ионизирует остаточный газ в вакуумной камере, и ионы газа компенсируют электрическое ноле электронного кучка. Малый радиус тора а много меньше большого радиуса (он же — средний радиус орбиты). Под действием собственного магнитного поля электронный пучок сжимается — радиус а уменьшается (пинч-эф-фект, см. § 30). Сжатие пучка можно представить себе следующим образом: электроны, вращаясь по круговой траектории во внешнем магнитном поле, совершают под действием собственного магнитного поля поперечные колебания. Эти колебания сопровождаются излучением, что приводит к затуханию колебаний и сжатию пучка. Оценить характерное время сжатия пучка под действием излучения (это модель релятивистского стабилизированного пучка Будкера).

Будем считать, что в лабораторной системе электрическое поле пучка скомпенсировано ионами так, что плотности ионов и электронов пучка равны: . В сопутствующей системе, где средняя по пучку скорость электронов равна нулю («система частиц»), плотности частиц еаъпе а электрическое поле внутри пучка Здесь — расстояние от оси пучка, иоиы для простоты считаем однозарядными.

В системе частиц электроны нерелятивистские, так что влиянием магнитных полей на их поперечное движение можно пренебречь. Поэтому уравнение поперечного движения электронов в системе частиц имеет вид . Подставляя сюда выражения для силы торможения и получим . Решение ищем в виде и для получаем уравнение или . Сила торможения мала по сравнению с упругой силой , если . Поэтому приближенно можно записать

Подставив это выражение в соотношение для найдем характерное время затухания колебаний в системе частиц . В лабораторной системе время затухания

Для пучка релятивистских электронов с током поперечным размером а см время самосжатия составит примерно 3 мин. Отметим, что при решении этой задачи мы предполагали излучение некогерентным, т. е. каждый электрон излучает независимо. Последнее объясняется флуктуациями плотности электронов в пучке (§ 134).

При движении заряженной частицы по окружности излучается не только энергия, но и момент импульса. В этом проще всего убедиться, используя рассмотренную выше силу торможения (126.2), которая в данном случае направлена против скорости. Тогда отношение излученной энергии к излученному моменту М

— радиус орбиты, — частота обращения частицы и частота

излучаемой волны. Поскольку энергия кванта соотношение (126.5) показывает, что его момент импульса (точнее, проекция момента на направление нормали к плоскости орбиты)

Рассмотрим теперь излучение I частиц, равномерно расположенных по окружности радиуса и вращающихся с угловой скоростью . Излучение такой системы есть излучение -поля (см. § 125). С другой стороны, частота излученной волны так как при повороте на угол распределение зарядов не изменяется. Тогда из соотношения (126.5) следует, что момент излученного кванта равен в этом случае