Глава XXII. ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

Основные закономерности излучения релятивистской заряженной частицы можно получить, используя результаты предыдущих разделов. Мы уже знаем, как «устроено» излучение нерелятивистской частицы, и знаем законы преобразования полей, потенциалов,

энергии, потока энергии при переходе из одной системы в другую. Это позволяет с помощью введения мгновенно сопутствующей системы получить интересующие нас физические величины в лабораторной системе. Такой прием применяется ниже в § 132. В некоторых случаях проще воспользоваться общими соотношениями для потенциалов и полей заряженных частиц. В этой главе мы рассмотрим наиболее характерные виды излучения релятивистской частицы, движущейся во внешних электромагнитных полях и в среде.

§ 132. МОЩНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ И СИЛА ТОРМОЖЕНИЯ

Движение заряженной частицы во внешнем электромагнитном; поле является движением с переменной скоростью, т. е. частица излучает, теряя часть своей энергии. Этот результат для нерелятивистских скоростей частиц уже получен в главе XX. Рассмотрим теперь релятивистский случай.

Будем для краткости называть «системой частицы» мгновенно сопутствующую систему отсчета, а величины в этой системе обозначать индексом Если ускорение частицы в такой системе имеет значение то там полный поток энергии (мощность) излучения частицы (см. (124.6))

Дипольное излучение не уносит импульса, так как оно распределено в пространстве симметрично относительно вектора . В этом случае говорят, что излучение импульса равно нулю (тогда как излучение энергии отлично от нуля). Поэтому в лабораторной системе изменение энергии и импульса и, кроме того, Здесь — мгновенная скорость частицы, ось х направлена вдоль Таким образом, в лабораторной системе потери энергии частицы на излучение в единицу времени и связанное с ними изменение импульса описываются соотношениями

Обратим внимание на замечательную особенность выражения (132.2): импульс излучается только в лабораторной системе из-за излучения энергии. Простой моделью такой физической ситуации является движение грузовика, в кузове которого сидят два пассажира и синхронно швыряют одинаковые яблоки с одинаковой скоростью в противоположных направлениях (в системе грузовика). Тогда скорость грузовика не меняется, но меняется его масса и, следовательно, импульс. Сопоставление этого примера с картиной излучения частицы еще раз указывает на существование инерционных (механических) свойств электромагнитного поля.

Выразим теперь изменение энергии и импульса частицы через значение внешнего электромагнитного поля Е, Н, в котором движется частица. Ускорение в системе частицы

так как скорость частицы в этой системе по определению равна нулю. Воспользовавшись преобразованиями для поля, запишем где индексы обозначают направления, параллельные и перпендикулярные вектору Для квадрата ускорения найдем

Подставляя этот результат в (132.1) и затем в (132.2), получим

где — классический радиус частицы.

Задача 1. Ультрарелятивистская частица рассеивается на неподвижном кулоновском центре (заряд на малый угол. Оценить потери на излучение для заданного прицельного параметра

Считая траекторию частицы прямолинейной и вводя координату х вдоль траектории на минимальном расстоянии частицы от центра), запишем компоненты поля:

Потери энергии частицы в единицу времени

и можно полные потери представить в виде суммы двух членов

Интегрируя, найдем

Таким образом, т. е. основные потери на излучение в данном случае связаны с поперечным ускорением частицы. Этот результат является достаточно общим, как мы увидим ниже.

Задача 2. Получить выражения для потерь энергии-мпульса частицы, записанные через ее ускорение в лабораторной системе.

Выбирая, как обычно, направление декартовой оси х в лабораторной системе вдоль мгновенной скорости частицы запишем:

где компоненты скорости частицы в лабораторной системе но эти значения можно подставить только после вычисления Очевидно, компоненты ускорения

Дифференцируя компоненты скорости и подставляя получим

Подстановка в (132.1) дает

Запишем теперь соотношения для энергии-импульса излучения частицы в релятивистски-инвариантном виде. Для этого по общему правилу заменим трехмерные векторы на 4-векторы и представим (132.1) как четвертую компоненту вектора энергии-импульса:

где - вектор скорости, — инвариантное время частицы. Отсюда, полагая получим

С другой стороны, уравнение движения заряда в электромагнитном поле можно записать в четырехмерной форме

где — компоненты 4-силы, которые выражаются через компоненты тензора поля Пространственные компоненты 4-вектора связаны с силой Лоренца соотношением

Подставляя (132.8) в (132.7), имеем

что совпадает с (132.4).

Выведем релятивистски-инвариантное выражение для силы торможения трением. Если, однако, прямо перейти к 4-векторам в выражении (126.2), то получится неправильное выражение для 4-силы торможения

(здесь штрих означает дифференцирование по инвариантному времени поскольку оно не удовлетворяет тождеству Это следует из соотношения Недостающее в (132.10) слагаемое можно найти из полного баланса энергии-импульса с учетом буферного поля, 4-вектор импульса которого обозначим Имеем

Сравнивая это выражение с (132.10), запишем

и

Это выражение, конечно, удовлетворяет необходимому тождеству Отметим, что при четвертая компонента дает энергию буферного поля (126.4).

Проанализируем выражение для 4-силы торможения (132.12). При первым слагаемым можно пренебречь, и мы возвращаемся к нерелятивистской силе торможения (126.2). В противоположном предельном случае можно пренебречь вторым слагаемым, так как . При этом трехмерная сила торможения

Обратим внимание, что при очень больших сила торможения может значительно превышать внешнюю силу Лоренца:

Это не противоречит ограничению для собственной системы отсчета (см. § 126), так как

где — характерная длина волны внешнего поля в собственной системе отсчета. Поскольку где I — характерный размер поля в лабораторной системе, то из (132.15) получаем с учетом этого условия из (132.14) находим

Это отношение может быть очень большим в широком интервале значений у:

В земных условиях левое неравенство выполняется только для электронов космических лучей с . Однако во

Вселенной существуют сверхплотные нейтронные звезды — пульсары с магнитным полем порядка . В таком поле сила торможения является определяющей уже для эВ).

Рассмотрим торможение частицы в магнитном поле при выполнении этого условия. Уравнение движения имеет вид

откуда, переходя к производной по координате х, получаем решение (Померанчук, 1939 г.)

Этот результат имеет интересную особенность: как бы велика ни была начальная энергия частицы, ее конечная энергия после пролета поля не превышает некоторого значения которое зависит только от величины и конфигурации поля. Полученное решение справедливо при условии, что ларморовский радиус частицы в магнитном поле при минимальном импульсе много больше характерного размера поля I:

где критическое поле

Для Земли тыс. км) это поле порядка т. е. условие удовлетворяется. Это условие эквивалентно, конечно, неравенству Для пульсара и траектория электрона в процессе торможения перестает быть прямолинейной. Решение (132.18) остается справедливым (при если вместо х подставить координату вдоль фактической траектории электрона.

Задача 3. Ультрарелятивистская частица пересекает участок однородного магнитного поля, ортогонального ее траектории. Найти и выяснить условия, при которых на выходе из поля энергия частицы близка к

Считая траекторию частицы прямолинейной, из (132.18) пайдем

Условие максимальной потери энергии, очевидно, имеет вид Например, для электрона в поле напряженностью и протяженностью ГэВ. Заметим, что радиус кривизны траектории электрона при таких значениях энергии и поля равен так что оценци в приближении прямолинейности траектории достаточно точны.

Задача 4. Оценить потери энергии на излучение ультрарелятивистской частицей, пролетающей над сгустком таких же частиц, движущимся ей навстречу. Сгусток имеет форму ленты с размерами частица летит вдоль направления над плоскостью.

Из (132.4) найдем -

В ускорителе со встречными линейными электрон-позитронными пучками (ВЛЭПП), разрабатываемом в ИЯФ СО АН СССР, предполагаются параметры сгустка мкм, мм, что на энергии 100 ГэВ дает ГэВ. В проекте ВЛЭПП встречные сгустки имеют толщину мкм, что необходимо для получения высокой плотности сгустков и соответственно высокой светимости встречных пучков (большое число взаимодействий сталкивающихся частиц за одну встречу). Для уменьшения потерь на излучение их делают плоскими.