§ 91. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА

Возможны ли любые преобразования пучка света с помощью оптической системы? Можно ли, например, получить так называемые «лучи смерти» (заветная мечта многих несчастных изобретателей), т. е. можно ли сжать световой пучок до очень малых поперечных размеров и малого углового разброса, скажем, с помощью двух линз с разными фокусными расстояниями, как показано на рис. XIII.14, а? Простое геометрическое построение хода лучей (рис. XIII.14, б) показывает, что (к счастью!) это невозможно: при сжатии светового пучка во столько же раз возрастает его угловая расходимость. Оказывается, что такое ограничение возможностей оптической системы вовсе не случайно, а является частным случаем фундаментального закона механики, известного под названием закона сохранения фазового объема (см. § 58). Поскольку распространение светового пучка в приближении геометрической оптики может быть описано с помощью механических уравнений Гамильтона (см. § 88), то упомянутый закон применим и в оптике для фазового объема пучка

Интегрирование распространяется здесь по области фазового пространства занятой световым пучком.

Отношение энергии пучка к его фазовому объему (91.1) (фазовая плотность энергии) зависит, как это устанавливается в статистической физике, только от эффективной температуры пучка.

Рис. Х111.14. Оптическая схема «сжатия» светового пучка (а) и ее реальная картина (б).

Поэтому в отсутствие потерь температура пучка остается постоянной при прохождении его через любую (прозрачную) оптическую систему и, во всяком случае, не может быть повышена таким образом. Практически же температура пучка даже падает из-за неизбежных потерь энергии и рассеяния.

Выражение (91.1) можно преобразовать к более наглядному виду. Перейдем в пространстве векторов к к сферическим координатам с полярной осью вдоль оси (оптическая ось системы):

— телесный угол, а — групповая скорость. Запишем элемент пространственного объема в виде где — элемент площади плоскости, перпендикулярной оптической оси (плоскость изображения или предмета). Тогда элемент фазового объема

В общем случае дальнейшее упрощение интеграла движения (91.2) невозможно. В стационарной среде, когда и в отсутствии дисперсии интеграл и (91.2) сводится к

В параксиальном приближении, т. е. когда направление вектора

V близко к оси интеграл

сохраняется независимо. Действительно, для тонкого слоя пучка имеем

так как равна разности скоростей на границах слоя). Учитывая, что в параксиальном приближении получим из (91.3)

В простейшем случае, когда пучок является аксиально-симметричным, его угловая расходимость не зависит от а зависит только от интеграл движения (91.4) принимает вид

где — радиус сечения пучка в плоскости Это соотношение носит название теоремы Лагранжа — Гельмгольца (иногда

Рис. XIII.15. К задаче 1.

его называют также инвариантом Смита — Гельмгольца). В таком виде оно было получено, по-видимому, независимо многими исследователями непосредственно из законов геометрической оптики (задача 1).

Задача 1. Получить инвариант Лагранжа — Смита — Гельмгольца для сферической границы.

Через сферическую границу проходит пучок лучей, ограниченный апертурной диафрагмой и имеющий в плоскости предмета максимальный линейный и угловой размеры (рис. XIII.15). Из простых геометрических построений находим связь размеров источника и изображения:

С другой стороны, углы для лучей, проходящих через центр границы, связаны между собой законом преломления:

Тогда в приближении малых углов из (91.6) и (91.7) получим (91.5), т. е.

Задача 2. Найти детерминант матрицы оптического преобразования для аксиально-симметричной системы в параксиальном приближении.

Из (91.4) имеем где — углы луча в плоскостях соответственно. В силу аксиальной симметрии системы и линейности преобразования в параксиальном приближении движение луча в этих плоскостях независимо, что дает Используя это соотношение, получим

Задача 3. Проверить выполнение теоремы Лагранжа — Гельмгольца в приведенном выше «парадоксе» (см. рис. XIII. 14).