§ 112. ОПТИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Опыт Аббе — Портера как пример оптической фильтрации описан в § 108. Оптическая фильтрация позволяет также улучшить разрешение оптической системы и качество изображения. Ее можно использовать в системах оптической обработки информации. В этом параграфе мы разберем еще три примера, иллюстрирующих существо метода.

Пример первый. Фотография предмета выполнена в условиях сильного снегопада. Можно ли «убрать» изображение падающего снега с фотографии?

Предположим для простоты, что снежинки падают с некоторым периодом по вертикальной координате х. На негативе присутствует помеха («шум») с периодом :

Вместе с полезным «сигналом» Ее (изображением предмета) этот «шум» определяет амплитудное пропускание негатива Процедура «очистки» выглядит следующим образом. Отпечатаем наш негатив контактным способом на другой фотопластинке. После проявления получим

поскольку при проявлении можно подобрать контрастность негативов так, что Промежуточный негатив («позитив») с прозрачностью осветим плоской монохроматической волной и поместим за ним линзу. Тогда в ее фокальной плоскости монохроматическое шумовое слагаемое даст точку (линию), которую можно убрать с помощью непрозрачного экрана — мы отфильтруем пространственные частоты снега. Затем, поместив в плоскости изображения фотопластинку, получим изображение, очищенное от шума. При этом, конечно, убираются те же частоты и изображения, что приводит к его искажению. Поэтому метод применим, если спектры волновых чисел предмета и шума не перекрываются значительно.

Второй пример — микроскоп Цернике (1935 г.), позволяющий повысить контрастность прозрачных предметов, рассматриваемых в микроскоп.

Если прозрачность предмета близка к единице, то он в основном влияет на изменение фазы проходящей волны, причем за предметом

В плоскости изображения с учетом линейного увеличения интенсивность волнового поля

Таким образом, прозрачный предмет просто неразличим (эффект порядка если Ситуацию можно изменить, поместив в фокусе объектива (см. рис. XV.24) четвертьволновую пластинку, сдвигающую фазу проходящей волны на (оптическая длина пути возрастает на ). Через фокус проходит преимущественно свет, недифрагированный структурой предмета, т. е. фон. Внеся сдвиг фаз в фоновую компоненту, получим в плоскости изображения

Знак соответствует четным нечетным. В итоге изображение становится контрастным, его яркость промодулирована (линейно) функцией, пропорциональной оптической плотности предмета.

Третий пример — повышение разрешения линзы по одному направлению за счет другого [2].

Будем считать для простоты, что линза имеет квадратную апертуру со стороной Пусть пространственный спектр предмета имеет разную ширину по обоим направлениям: (рис. XVII.14, а), поскольку по каждому направлению линза пропускает полосу частот (см. (102.12))

где а — расстояние от предмета до линзы, и размер предмета считается много меньшим а. В случае линза дает искаженное изображение предмета, «обрезая» высокие частоты по х. Если при этом то незанятую часть полосы пропускания по у можно использовать для передачи срезанной части спектра по х. Для этого нужно только трансформировать спектр предмета.

(кликните для просмотра скана)

Для этого поместим сразу за предметом О (см. рис. XVII.13) маску амплитудное пропускание которой меняется по некоторому направлению на поверхности маски по закону

и не зависит от координаты , перпендикулярной Такая маска представляет собой разновидность дифракционной решетки. Если направить по нормали к ней плоскую монохроматическую волну, то за маской, в фокальной плоскости линзы возникнут три точки — фокусы с координатами Это есть не что иное, как фурье-образ функции (112.5). Пусть ось составляет угол Ф с осью х. Тогда координаты фокусов в плоскости (см. рис. XVII.14, б). Посмотрим, как такая маска преобразует спектр волны испускаемой предметом. За маской поле волны

Спектр этой функции состоит из трех частей:

Здесь — исходный спектр волны а спектры отличаются от него тем, что в них произведена замена

Это означает, что полный спектр волны, пропущенной маской, имеет вид, показанный на рис. XVII.14, в для случая, когда Ясно, что такая же картина возникла бы и в фокальной плоскости линзы если бы последняя имела достаточно большую апертуру. Линза, однако, обрезает спектр по картина в фокальной плоскости изображена на рисунке XVII.14, г. Теперь спектр волны несет полную информацию о предмете, но он деформирован, так что изображение в плоскости сопряженной с плоскостью предмета, сильно искажено. Нужно придать спектру исходный вид (см. рис. XVII.14, а). Для этого сразу за плоскостью промежуточного изображения поставим вторую маску которая проделает со спектром волны такое же преобразование, как и маска в результате чего спектр примет вид, показанный на рис. XVII. Далее с помощью фильтра-щели, помещенного в фокальной плоскости линзы (см. рис. XVII.13), срезаем «лишние» части промежуточного спектра и в плоскости получаем неискаженное изображение предмета. Заметим, что фильтр-щель можно поместить и непосредственно рядом с линэой уменьшив тем самым ее вертикальную апертуру. Существенно, что линза может обладать и меньшей апертурой, чем линза поскольку ширина спектра

промежуточного изображения зависит от его увеличения (в плоскости ) в силу сохранения фазового объема светового пучка (см. § 91). Именно такая ситуация и приведена на рис. XVII.14, д, где коэффициент увеличения линзы больше единицы. Ширина спектра окончательного изображения может быть любой в зависимости от увеличения линзы По этой схеме можно увеличить разрешение по оси х максимум в три раза (см. рис. XVII.14, в).

Отметим, что описанный метод работает только в том случае если в спектре предмета действительно нет больших частот (рис. XVII.14, а). В противном случае окончательное изображение будет искажено этими частотами (рис. XVII.14, в).