Главная > Электромагнитное поле. Часть 2. Электромагнитные волны и оптика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 99. ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ

Рассмотрим задачу о дифракции плоской монохроматической волны на прямолинейном краю непрозрачного экрана (рис. XV.7), занимающего область Поскольку задача плоская, мы обязаны в (98.13) перейти от сферических волн к цилиндрическим (см. (98.11)):

Проведя замену переменных, представим (99.1) в виде

Таким образом, решение задачи о дифракции плоской волны на краю экрана сведено к так называемым интегралам Френеля (рис. XV.8):

Их асимптотики при больших значениях имеют вид

В частности, при оба интеграла стремятся к ±1/2. Таким

Рис. XV.7. Дифракция плоской волны на краю экрана.

Рис. XV.8. Графики интегралов Френеля (99.3).

образом, дифрагированная волна описывается соотношением

а интенсивность в точке

График зависимости (99.6) приведен на рис. XV.9, а фотография дифракционной картины — на рис.

Отметим, что масштаб дифракционной картины определяется соотношениями (99.2). Используя график, приведенный на рис. XV.9, можно оценить протяженность области полутени вблизи края экрана: или При больших из асимптотики (99.4) следует, что период дифракционной картины соответствует сдвигу аргумента или

Величина не случайно является масштабом дифракционной картины. Это параметр, определяющий размер так называемой зоной Френеля. Развивая волновую теорию света,

Френель, как уже говорилось, предложил метод построения картины распространения волны. Поясним этот метод на простом примере. Допустим, необходимо найти поле волны, проходящей через круговое отверстие в экране, в точке Р, лежащей на оси отверстия. Разобьем отверстие на концентрические кольцевые зоны и выберем радиусы колец так, что расстояние до точки Р от окружностей отличаются на . В приближении больших

Рис. XV.9. Распределение интенсивности в волне, дифрагированной на краю полубесконечного экрана.

Рис. XV.10. Дифракция параллельного пучка света на краях широкой щели (гелий-неоновый лазер).

Рис. XV.11. Зоны Френеля;

Рис. XV.12. Зонные пластинки.

нетрудно получить (рис. XV.11)

Площадь каждого из колец не зависит от его номера и равна

Поле в точке Р определяется суперпозицией волновых потоков из каждой зоны. Приняв фазу волны в пределах зоны постоянной, можно считать, что две соседние зоны «гасят» друг друга. Прорисовав на отверстии заданного радиуса зоны Френеля для заданной точки Р и просуммировав их с учетом знака (множитель можно оценить освещенность в точке Р. Если первичная волна не плоская, а сферическая с источником на расстоянии от выбранной поверхности, то радиусы зон Френеля описываются соотношением, аналогичным (99.8):

Метод Френеля дает качественно верное описание картины. В частности, он позволяет понять действие зонных пластинок-экранов (рис. XV.12), представляющих собой набор чередующихся прозрачных и непрозрачных колец, радиусы которых возрастают пропорционально как и размеры зон Френеля (99.7). Действительно, такая пластинка, состоящая, например, из нечетных прозрачных колец, ограниченных окружностями радиусов преобразует плоскую волну так, что в точку волны от прозрачных колец придут в одинаковой фазе, и поле в этой точке будет много больше Е. Поэтому такие пластинки действуют аналогично линзе.

Задача 1. Рассмотреть методом интеграла Кирхгофа прохождение волны через зонную пластинку.

Пусть для определенности прозрачны нечетные кольца. В точке на оси пластинки поле, согласно (98.5), есть

где функция равна 0 или 1 в зависимости от прозрачности кольца. Интегрируя (99.10), находим

Отсюда . При числитель и знаменатель равны нулю. Раскрыв неопределенность, нетрудно получить, что в точках

имеет место фокус с полем Ширину максимума вблизи фокуса -го порядка можно оценить из очевидного условия т. е. или . (Сравни ниже с результатами для дифракционной решетки.)

Ясно, что зонная пластинка с прозрачными четными зонами обладает такими же свойствами (с заменой

Зонные пластинки можно использовать для фокусировки электромагнитных волн вне оптического диапазона рентген), где невозможно применение обычных оптических линз.

Задача 2. Описать распределение поля на оси круглого отверстия в экране, освещенном плоской монохроматической волной, падающей вдоль оси.

Пусть — радиус отверстия. Тогда для точки отстоящей от экрана на расстояние отверстие представляет собой набор кольцевых зон Френеля. Стало быть, можно ожидать, что поле имеет максимумы в точках и минимумы в точках Этот же результат следует из интеграла Кирхгофа

Максимум поля - при минимум — при в области интенсивность монотонно убывает.

Рассмотренная выше картина дифракции, и в частности ее описание в форме интеграла Кирхгофа (98.5), позволяет сделать общее заключение о характере дифракции на так называемых дополнительных экранах. Два экрана называют дополнительными, если отверстия одного совпадают с непрозрачными участками другого (рис. XV.13). Волна, дифрагированная на каждом из них, описывается интегралом по поверхности прозрачной части экрана. Очевидно, что сумма полей, возникающих в точке Р при дифракции на каждом из экранов, равна полю в невозмущенной волне

Это утверждение и составляет суть теоремы Бабине. Например, при дифракции света на непрозрачном круге (см. (99.12)) за экраном

Рис. XV.13. Дополнительные экраны.

Рис. XV.14. Дифракция плоской волны на нити (а) и щели (б).

Диаметр нити 0,45 мм, диаметр щели 0,5 мм.

Расстояние до экрана наблюдения 3 м. Источник — гелий-неоновый лазер.

на его оси т. е. интенсивность волны на оси (в центре геометрической тени) не зависит от расстояния и равняется интенсивности падающей волны Наблюдение такого светлого пятна в центре тени было убедительным доказательством волновой природы света (Араго, 1818 г.). Если посмотреть на экран из центра тени, то вокруг экрана виден яркий ореол, который примерно соответствует первой зоне Френеля и является источником освещения приосевой области.

Обратим внимание, что изменения интенсивности в дифракционных картинах для дополнительных экранов, вообще говоря, не дополняют друг друга, поскольку соотношение (99.13) связывает напряженности полей.

На рис. XV. 14 приведены дифракционные картины для дополнительных экранов — щель и нить.

1
Оглавление
email@scask.ru