§ 99. ДИФРАКЦИЯ ФРЕНЕЛЯ

Рассмотрим задачу о дифракции плоской монохроматической волны на прямолинейном краю непрозрачного экрана (рис. XV.7), занимающего область Поскольку задача плоская, мы обязаны в (98.13) перейти от сферических волн к цилиндрическим (см. (98.11)):

Проведя замену переменных, представим (99.1) в виде

Таким образом, решение задачи о дифракции плоской волны на краю экрана сведено к так называемым интегралам Френеля (рис. XV.8):

Их асимптотики при больших значениях имеют вид

В частности, при оба интеграла стремятся к ±1/2. Таким

Рис. XV.7. Дифракция плоской волны на краю экрана.

Рис. XV.8. Графики интегралов Френеля (99.3).

образом, дифрагированная волна описывается соотношением

а интенсивность в точке

График зависимости (99.6) приведен на рис. XV.9, а фотография дифракционной картины — на рис.

Отметим, что масштаб дифракционной картины определяется соотношениями (99.2). Используя график, приведенный на рис. XV.9, можно оценить протяженность области полутени вблизи края экрана: или При больших из асимптотики (99.4) следует, что период дифракционной картины соответствует сдвигу аргумента или

Величина не случайно является масштабом дифракционной картины. Это параметр, определяющий размер так называемой зоной Френеля. Развивая волновую теорию света,

Френель, как уже говорилось, предложил метод построения картины распространения волны. Поясним этот метод на простом примере. Допустим, необходимо найти поле волны, проходящей через круговое отверстие в экране, в точке Р, лежащей на оси отверстия. Разобьем отверстие на концентрические кольцевые зоны и выберем радиусы колец так, что расстояние до точки Р от окружностей отличаются на . В приближении больших

Рис. XV.9. Распределение интенсивности в волне, дифрагированной на краю полубесконечного экрана.

Рис. XV.10. Дифракция параллельного пучка света на краях широкой щели (гелий-неоновый лазер).

Рис. XV.11. Зоны Френеля;

Рис. XV.12. Зонные пластинки.

нетрудно получить (рис. XV.11)

Площадь каждого из колец не зависит от его номера и равна

Поле в точке Р определяется суперпозицией волновых потоков из каждой зоны. Приняв фазу волны в пределах зоны постоянной, можно считать, что две соседние зоны «гасят» друг друга. Прорисовав на отверстии заданного радиуса зоны Френеля для заданной точки Р и просуммировав их с учетом знака (множитель можно оценить освещенность в точке Р. Если первичная волна не плоская, а сферическая с источником на расстоянии от выбранной поверхности, то радиусы зон Френеля описываются соотношением, аналогичным (99.8):

Метод Френеля дает качественно верное описание картины. В частности, он позволяет понять действие зонных пластинок-экранов (рис. XV.12), представляющих собой набор чередующихся прозрачных и непрозрачных колец, радиусы которых возрастают пропорционально как и размеры зон Френеля (99.7). Действительно, такая пластинка, состоящая, например, из нечетных прозрачных колец, ограниченных окружностями радиусов преобразует плоскую волну так, что в точку волны от прозрачных колец придут в одинаковой фазе, и поле в этой точке будет много больше Е. Поэтому такие пластинки действуют аналогично линзе.

Задача 1. Рассмотреть методом интеграла Кирхгофа прохождение волны через зонную пластинку.

Пусть для определенности прозрачны нечетные кольца. В точке на оси пластинки поле, согласно (98.5), есть

где функция равна 0 или 1 в зависимости от прозрачности кольца. Интегрируя (99.10), находим

Отсюда . При числитель и знаменатель равны нулю. Раскрыв неопределенность, нетрудно получить, что в точках

имеет место фокус с полем Ширину максимума вблизи фокуса -го порядка можно оценить из очевидного условия т. е. или . (Сравни ниже с результатами для дифракционной решетки.)

Ясно, что зонная пластинка с прозрачными четными зонами обладает такими же свойствами (с заменой

Зонные пластинки можно использовать для фокусировки электромагнитных волн вне оптического диапазона рентген), где невозможно применение обычных оптических линз.

Задача 2. Описать распределение поля на оси круглого отверстия в экране, освещенном плоской монохроматической волной, падающей вдоль оси.

Пусть — радиус отверстия. Тогда для точки отстоящей от экрана на расстояние отверстие представляет собой набор кольцевых зон Френеля. Стало быть, можно ожидать, что поле имеет максимумы в точках и минимумы в точках Этот же результат следует из интеграла Кирхгофа

Максимум поля - при минимум — при в области интенсивность монотонно убывает.

Рассмотренная выше картина дифракции, и в частности ее описание в форме интеграла Кирхгофа (98.5), позволяет сделать общее заключение о характере дифракции на так называемых дополнительных экранах. Два экрана называют дополнительными, если отверстия одного совпадают с непрозрачными участками другого (рис. XV.13). Волна, дифрагированная на каждом из них, описывается интегралом по поверхности прозрачной части экрана. Очевидно, что сумма полей, возникающих в точке Р при дифракции на каждом из экранов, равна полю в невозмущенной волне

Это утверждение и составляет суть теоремы Бабине. Например, при дифракции света на непрозрачном круге (см. (99.12)) за экраном

Рис. XV.13. Дополнительные экраны.

Рис. XV.14. Дифракция плоской волны на нити (а) и щели (б).

Диаметр нити 0,45 мм, диаметр щели 0,5 мм.

Расстояние до экрана наблюдения 3 м. Источник — гелий-неоновый лазер.

на его оси т. е. интенсивность волны на оси (в центре геометрической тени) не зависит от расстояния и равняется интенсивности падающей волны Наблюдение такого светлого пятна в центре тени было убедительным доказательством волновой природы света (Араго, 1818 г.). Если посмотреть на экран из центра тени, то вокруг экрана виден яркий ореол, который примерно соответствует первой зоне Френеля и является источником освещения приосевой области.

Обратим внимание, что изменения интенсивности в дифракционных картинах для дополнительных экранов, вообще говоря, не дополняют друг друга, поскольку соотношение (99.13) связывает напряженности полей.

На рис. XV. 14 приведены дифракционные картины для дополнительных экранов — щель и нить.