§ 116. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Рассмотрим систему уравнений Максвелла в вакууме (см. § 45):

В отсутствие зарядов и токов уравнения собственно электромагнитного поля антисимметричны относительно замены полей, т. е. сохраняют свой вид при . Эта симметрия «потеряна» в выражении для тензора поля (115.4). Чтобы восстановить ее, введем дуальный тензор поля

который связан с тензором (115.4) соотношениями

Дуальный тензор можно представить также в виде

где введен полностью антисимметричный единичный тензор четвертого ранга, элементы которого равны ±1 или 0 и меняют знак при перестановке двух любых индексов. По определению а все элементы с (по крайней мере двумя) совпадающими индексами равны нулю.

Из компонент тензора электромагнитного поля и дуального тензора можно образовать два скаляра (инварианта)

Оказывается, что других независимых инвариантов нет.

Существование инвариантов поля позволяет сделать общие заключения о свойствах электромагнитного поля по отношению к преобразованиям Лоренца.

1. Первый инвариант поля указывает на существование двух классов полей:

Для первого класса в любой системе электрическое поле больше магнитного и, в частности, ни в одной системе не обращается в нуль. Для второго класса те же утверждения справедливы для . Вырожденным является случай

когда в любой системе электрическое и магнитное поля равны друг другу. Такое разделение полей на два класса естественно в специальной теории относительности и аналогично существованию времениподобных и пространственноподобных интервалов.

2. Если в какой-либо системе электрическое и магнитное поля взаимно ортогональны так что то это имеет место в любой системе. В частности, таким свойством обладают поля, рассмотренные в задаче § 115.

3. Если второй инвариант поля равен нулю, то можно найти систему, в которой существует только одна «половина» электромагнитного поля, Е или Н, а вторая обращается в нуль, какая именно — зависит от знака первого инварианта (см. § 57). Важный частный случай равенства нулю обоих инвариантов соответствует электромагнитному полю плоской волны: .

Задача. Найти скорость системы, в которой

В качестве направления искомой скорости выберем прямую, перпендикулярную плоскости, в которой лежат векторы Е, Н. Тогда, используя преобразования поля, из условия параллельности Е, Н найдем

Отсюда

В штрихованной системе Е, Н параллельны, поэтому во всякой системе, движущейся вдоль направления этих векторов, они остаются параллельными.

Используя тензоры (115.4) и (116.2), можно записать уравнения Максвелла в релятивистски-инвариантном и симметричном виде. Для этого в первой паре уравнений (116.1) перейдем к дуальному полю. В результате получим

В таком виде эти выражения совпадают по форме со второй парой уравнений (116.1) (без источников поля). Полную систему уравнений Максвелла можно представить теперь в простой, релятивистски-инвариантной форме

С учетом источников поля дуальная симметрия поля нарушается.

Уравнения Максвелла содержат плотность электрического заряда и тока. В то же время магнитные заряды и соответствующие им магнитные токи отсутствуют. Это является отражением того экспериментального факта, что в природе не существуют, по крайней мере до сих пор не обнаружены, частицы, обладающие магнитным зарядом. Вместе с тем существование таких зарядов — магнитных монополей — не противоречит уравнениям Максвелла, где им заготовлены места в первой паре уравнений (116.1), (116.9). Если ввести 4-вектор магнитного тока герц), то уравнения для дуального поля принимают вид

и симметрия восстанавливается.

Гипотеза о существовании магнитного монополя была высказана еще в 1931 г. английским физиком Дираком (поэтому его называют также монополем Дирака). Из квантово-механических соображений (см! задачу 5, § 118) магнитный заряд монополя может иметь значения

Поскольку минимальный заряд монополя

Во внешних полях на монополь действует сила, аналогичная силе Лоренца . В магнитном поле напряженностью на пути в 1 см эта сила сообщает монополю энергию Магнитный заряд — сильноионизирующая частица, так как собственное магнитное поле монополя при его движении создает в лабораторной системе электрическое поле, которое и вызывает ионизацию среды.

Попытки обнаружения монополя можно грубо разделить на два класса:

1) поиски стабильных монополей, которые должны накапливаться в древних породах;

2) регистрация монополей, рожденных в реакциях с участием элементарных частиц высокой энергии.

К экспериментам класса относятся поиски монополей в древних породах, извлеченных со дна северной части Атлантического океана (возраст по геологическим данным 16 млн. лет). Образцы породы помещались в соленоид, в нем создавалось сильное импульсное магнитное поле, призванное вырвать монополи из образца. Как и любые ионизирующие частицы, «вырванные» монополи можно зарегистрировать каким-либо из детекторов элементарных частиц. Факт отсутствия монополей позволил, исходя из размеров образца и возраста породы, оценить их поток из Вселенной: и плотность монополей в земных породах: мейее 1 монополя на Подобные эксперименты были проведены и с образцами грунта, доставленными с Луны экипажем «Аполлона-11». Их результат что составляет менее 1 монополя за секунду на поверхность, равную земной.

В экспериментах класса делались попытки улавливания монополей, рожденных в реакциях взаимодействия релятивистских протонов с ядрами: Все проведенные до сих пор эксперименты не дали пока положительных результатов.