Главная > Электромагнитное поле. Часть 2. Электромагнитные волны и оптика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава XIX. ПОТЕНЦИАЛЫ И ПОЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ

§ 119. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Соотношения (114.1) описывают потенциалы электромагнитного поля. Решение однородных уравнений (114.1) есть знакомое нам свободное электромагнитное поле (волны) или же поле вне системы зарядов и токов. Решение неоднородных уравнений дает, кроме того, потенциалы поля, образованного данными зарядами и токами

Для нахождения частного решения неоднородных уравнений воспользуемся наиболее эффективным методом — попробуем «угадать» ответ. Мы знаем решение для статических и квазистационарных полей (8.1) и (31.8). Посмотрим, годятся ли эти выражения для произвольной зависимости времени. Иными словами, будем искать решение уравнений (114.1) в виде

где — радиус-вектор точки наблюдения, — радиус-вектор элемента объема (рис. XIX.1). Времена в левой и в правой частях соотношений (119.1) отличаются на величину, равную длительности распространения электромагнитного поля от точки интегрирования до точки наблюдения Р:

В этом и состоит отличие формул (119.1) от аналогичных соотношений для статических и квазистационарных полей — учтено запаздывание поля или конечность времени распространения поля от источника до точки наблюдения.

Задача 1. Проверить, удовлетворяют ли потенциалы в форме (119.1) уравнениям (114.1).

Левая часть этих уравнений содержит лапласиан Др по координатам точки наблюдения и вторую производную по времени в точке наблюдения. Потенциалы в (119.1) даны как функции координат и

Рис. XIX.1. К вычислению потенциалов системы зарядов и токов: О — начало координат; Р — точка наблюдения; — элемент интегрирования;

времени Поэтому при вычислении нужно в качестве независимых переменных рассматривать и и учитывать зависимость от них функции (119.2). В соответствии с этим получим

где

Величины — компоненты векторов соответственно.

Подставим решение (119.1) в уравнение (114.1) для и вычислим отдельно слагаемые левой части. Первое из них

где

Зависимость от координат точки наблюдения появляется из (119.2): др

Суммируя по а с учетом (119.4):

Второе слагаемое в (119.5) найдем, вспомнив, что потенциал единичного точечного заряда есть

Наконец, третье слагаемое в (119.5) получим, вычислив

и просуммировав по а. В результате

Собирая слагаемые, найдем

так что

Рис. XIX.2. К расчету потенциала движущегося заряженного цилиндра.

Подставляя этот результат в левую часть уравнения (114.1) для имеем:

так как Таким образом, потенциал Ф из (119.1) удовлетворяет уравнению (114.1). Аналогично доказывается, что вектор-потенциал (119.1) является решением первого уравнения (114.1) Для этого достаточно произвести замены

Простой пример, рассмотренный ниже в задаче 2, показывает, как запаздывание поля сказывается на значениях

Задача 2. Найти потенциал равномерно заряженного цилиндра длиной движущегося с постоянной скоростью вдоль направления, параллельного оси цилиндра (рис. XIX.2). Расстояние от цилиндра до точки наблюдения много больше I.

Потенциал в точке на оси цилиндра в момент времени

интеграл берется по всем точкам пространства, в которых в момент находится заряд. Нетрудно видеть, что вклад в потенциал дает некоторая эффективная длина цилиндра где находится из условия означающего, что сигналы от «хвоста» ( рис. XIX.2) и от сместившейся «головы» цилиндра одновременно достигают точки или сигнал со скоростью с от «хвоста» добирается до «головы» за время смещения последней на отрезок . В итоге

Проведя аналогичные вычисления для точки Р вне оси, найдем

В § 120 эти результаты будут получены в более общем случае.

Задача 3. Показать, что запаздывающие потенциалы в форме (119.1) удовлетворяют калибровке Лоренца.

Вычислим вначале дивергенцию вектор-потенциала:

Интеграл от первого слагаемого можно взять по частям, если учесть, что Тогда

Интеграл по замкнутой поверхности равен нулю, так как поверхность можно вынести за пределы объема с токами и зарядами. Производная по координатам элементов объема от очевидно, есть

где дивергенция берется по координатам Подставляя этот результат в исходный интеграл, получим

Учитывая, что окончательно убеждаемся в справедливости равенства

1
Оглавление
email@scask.ru