Глава XIX. ПОТЕНЦИАЛЫ И ПОЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ

§ 119. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Соотношения (114.1) описывают потенциалы электромагнитного поля. Решение однородных уравнений (114.1) есть знакомое нам свободное электромагнитное поле (волны) или же поле вне системы зарядов и токов. Решение неоднородных уравнений дает, кроме того, потенциалы поля, образованного данными зарядами и токами

Для нахождения частного решения неоднородных уравнений воспользуемся наиболее эффективным методом — попробуем «угадать» ответ. Мы знаем решение для статических и квазистационарных полей (8.1) и (31.8). Посмотрим, годятся ли эти выражения для произвольной зависимости времени. Иными словами, будем искать решение уравнений (114.1) в виде

где — радиус-вектор точки наблюдения, — радиус-вектор элемента объема (рис. XIX.1). Времена в левой и в правой частях соотношений (119.1) отличаются на величину, равную длительности распространения электромагнитного поля от точки интегрирования до точки наблюдения Р:

В этом и состоит отличие формул (119.1) от аналогичных соотношений для статических и квазистационарных полей — учтено запаздывание поля или конечность времени распространения поля от источника до точки наблюдения.

Задача 1. Проверить, удовлетворяют ли потенциалы в форме (119.1) уравнениям (114.1).

Левая часть этих уравнений содержит лапласиан Др по координатам точки наблюдения и вторую производную по времени в точке наблюдения. Потенциалы в (119.1) даны как функции координат и

Рис. XIX.1. К вычислению потенциалов системы зарядов и токов: О — начало координат; Р — точка наблюдения; — элемент интегрирования;

времени Поэтому при вычислении нужно в качестве независимых переменных рассматривать и и учитывать зависимость от них функции (119.2). В соответствии с этим получим

где

Величины — компоненты векторов соответственно.

Подставим решение (119.1) в уравнение (114.1) для и вычислим отдельно слагаемые левой части. Первое из них

где

Зависимость от координат точки наблюдения появляется из (119.2): др

Суммируя по а с учетом (119.4):

Второе слагаемое в (119.5) найдем, вспомнив, что потенциал единичного точечного заряда есть

Наконец, третье слагаемое в (119.5) получим, вычислив

и просуммировав по а. В результате

Собирая слагаемые, найдем

так что

Рис. XIX.2. К расчету потенциала движущегося заряженного цилиндра.

Подставляя этот результат в левую часть уравнения (114.1) для имеем:

так как Таким образом, потенциал Ф из (119.1) удовлетворяет уравнению (114.1). Аналогично доказывается, что вектор-потенциал (119.1) является решением первого уравнения (114.1) Для этого достаточно произвести замены

Простой пример, рассмотренный ниже в задаче 2, показывает, как запаздывание поля сказывается на значениях

Задача 2. Найти потенциал равномерно заряженного цилиндра длиной движущегося с постоянной скоростью вдоль направления, параллельного оси цилиндра (рис. XIX.2). Расстояние от цилиндра до точки наблюдения много больше I.

Потенциал в точке на оси цилиндра в момент времени

интеграл берется по всем точкам пространства, в которых в момент находится заряд. Нетрудно видеть, что вклад в потенциал дает некоторая эффективная длина цилиндра где находится из условия означающего, что сигналы от «хвоста» ( рис. XIX.2) и от сместившейся «головы» цилиндра одновременно достигают точки или сигнал со скоростью с от «хвоста» добирается до «головы» за время смещения последней на отрезок . В итоге

Проведя аналогичные вычисления для точки Р вне оси, найдем

В § 120 эти результаты будут получены в более общем случае.

Задача 3. Показать, что запаздывающие потенциалы в форме (119.1) удовлетворяют калибровке Лоренца.

Вычислим вначале дивергенцию вектор-потенциала:

Интеграл от первого слагаемого можно взять по частям, если учесть, что Тогда

Интеграл по замкнутой поверхности равен нулю, так как поверхность можно вынести за пределы объема с токами и зарядами. Производная по координатам элементов объема от очевидно, есть

где дивергенция берется по координатам Подставляя этот результат в исходный интеграл, получим

Учитывая, что окончательно убеждаемся в справедливости равенства