§ 90. ТОЛСТАЯ ЛИНЗА

Если лучи, проходя через линзу, претерпевают значительное смещение на толщине линзы, так что условие (89.7) не выполняется, линза называется толстой.

Матричный метод позволяет дать простое описание толстой линзы. Рассмотрим линзу, ограниченную сферическими поверхностями радиусов кривизны (рис. XIII.10) и находящуюся в среде с Матрица преобразования такой линзы М равна произведению матриц сферических границ 1, 2 (89.6), в которых

и матрицы преобразования лучей из плоскости 1 в плоскость 2

Откуда

Здесь

Использование матрицы (90.3) для построения изображений, создаваемых толстой линзой, довольно громоздко. Однако с ее помощью можно найти некоторый геометрический метод построения сопряженных точек, аналогичный тому, который использовался выше для тонкой линзы. Для этого введем так называемые кардинальные точки и плоскости толстой линзы. Первая пара таких точек — фокусы, т. е. точки, в которых пересекаются лучи, падающие на линзу параллельно ее оси . Такой луч на выходе из линзы имеет координату и угол

где — элементы матрицы М. Расстояние до точки от границы линзы (см. рис. XIII.10) есть — Аналогично луч, идущий справа налево параллельно оси, пересечется с осью в точке на расстоянии границы элемент матрицы, обратной матрице М).

Введем главные плоскости линзы. Для этого заменим реальный ход лучей в линзе эквивалентными траекториями: такой «эквивалентный луч», параллельный оси слева от линзы, проходит сквозь линзу без отклонения до главной плоскости (рис. XIII.11), на которой «преломляется» и пересекает ось в точке Аналогично луч, проходящий через точку «преломляется» на главной плоскости и выходит за линзой параллельно ее оси. Координату фокуса относительно главной плоскости (со знаком) назовем фокусным расстоянием Повторив проделанные выше вычисления для луча найдем

Таким образом, элемент матрицы преобразования толстой

Рис. XIII.10. Толстая линза.

Рис. XIII.11. Главные плоскости толстой линзы.

линзы есть Аналогично фокусное расстояние есть

Детерминант матрицы (90.3) равен единице, поэтому элементы прямой и обратной матриц связаны простыми соотношениями

Отсюда, в частности, следует важное свойство фокусных расстояний толстой линзы, находящейся в однородной внешней среде:

где дано в (90.4). Таким образом, фокусные расстояния равны по абсолютной величине и находятся по разные стороны от главных плоскостей. Расположение этих плоскостей (см. рис. XIII.11) можно найти тем же способом. Расстояние до главной плоскости от границы линзы есть

Положение главной плоскости дается выражением

Напомним, что радиусы и расстояния определены со знаками, поэтому расположение главных плоскостей зависит от формы и размеров линзы. В частности, при условии

линза является фокусирующей и главная плоскость Н, расположена справа от границы слева от границы Расстояние между главными плоскостями

также определено со знаком, так что при расположение главных плоскостей «противоестественное»: главная плоскость Н, находится позади что имеет место, если

Обсуждая оптические свойства тонкой линзы, мы выяснили, что луч, проходящий через ее центр, не претерпевает преломления (отклонения). В толстой линзе таких точек нет. Однако аналогично главным плоскостям, можно ввести две узловые точки, определив их следующим образом: если луч, падающий на границу 1,

Рис. XIII.12. Узловые точки толстой линзы.

лежит на прямой, проходящей через узловую точку то за линзой он направлен вдоль прямой, параллельной первой и проходящей через узловую точку (рис. XIII.12). Это означает, что для такого луча Расстояния между узловыми точками и границами линзы (см. рис. XIII.12):

Записав матричные соотношения для координат эквивалентного луча, «проходящего» через узловые точки,

найдем

В последнем соотношении использовано свойство матрицы (90.3) — равенство единице ее детерминанта. Сравнивая полученные результаты с выражениями (90.10), (90.11), нетрудно видеть, что узловые точки лежат на пересечениях оси линзы с главными плоскостями. Подчеркнем, что этим свойством обладает линза, если она находится в среде с одинаковым коэффициентом преломления по обе стороны от нее.

Набор кардинальных плоскостей и точек линзы позволяет строить изображения, как это показано на рис. XIII.13.

Наконец, можно более определенно сформулировать понятие тонкой линзы: для нее расстояние между главными плоскостями (90.13) много меньше фокусного расстояния (90.4). Это условие имеет простой вид для симметричной линзы и для резко несимметричной линзы

Рис. XIII.13. Построение изображения в толстой линзе по известпым кардинальным точкам.

Задача. Найти фокусное расстояние дублета — фокусирующей и дефокусирующей тонких ливз, отстоящих на расстоянии друг от друга.

Перемножая матрицы (89.12) и (90.2) в соответствующем порядке, получим

Такой дублет всегда фокусирует.