§ 141. ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Прежде всего выясним, какова монохроматичность излучения «обычных» источников, работающих в оптическом и СВЧ диапазонах. Для оптических длин волн элементарными излучателями являются атом или молекула, а минимальная ширина линии излучения определяется временем жизни атома в возбужденном состоянии Оно, в свою очередь, зависит от структуры атома и вещества, в состав которого этот атом входит, от того, какой именно уровень возбужден, и т. д. По порядку величины составляет , так что в соответствии с соотношением неопределенности монохроматичность излучения свободного покоящегося атома в оптическом диапазоне есть Ширина линии излучения атома, входящего в состав кристалла или сложной молекулы, может быть значительно больше. Так, в полупроводниках

Атомы вещества, кроме того, участвуют в тепловом движении, что приводит к доплеровскому уширению линии излучения

ансамбля возбужденных атомов:

Численное значение приведено для молекулы водорода при комнаэ ной температуре. Такая Ширина линии излучения для многих применений является недопустимо большой, поэтому для монохроматв зации источников приходится прибегать к различным «вырезающим» устройствам, таким, как, например, интерферометр Фабри — Перо. Конечно, в этом случае монохроматизация достигается за счет потери интенсивности.

В радиодиапазоне ширина линии генератора обычно определяется добротностью резонатора или контура: .

Можно, однако, реализовать условия, при которых возбужденные атомы (молекулы) будут излучать не независимо, а когерентно. Такая «привязка» по фазе имеет место при индуцированном или вынужденном излучении, когда все возбужденные атомы находятся в поле одной электромагнитной волны, частота которой совпадает с частотой их излучения (резонанс). На этом основано действие так называемых квантовых генераторов (мазеры, лазеры и др.). В действительности такой механизм генерации возможен и в классической системе, когда излучателями являются не атомные электроны, а, например, электроны в магнитном поле, движение которых описывается классически (в частности, лазер на «свободных» электронах). В последнем случае механизм вынужденного излучения очень прост: это работа поля волны над электроном.

В квантовом случае вынужденное излучение характеризуется эффективным поперечным сечением Как и для других резонансных процессов, по порядку величины (ср. (138.5)), Точное выражение для можно найти, используя изящный метод Эйнштейна (задача 1). Он основан на распределении Планка для теплового излучения:

где — плотность фотонов, Т — температура излучения, которое считается изотропным. Для дальнейшего формулу Планка удобно представить в виде

где — элемент телесного угла, в котором распространяются фотоны; — число мод резонатора объема V:

— среднее число тепловых фотонов в одной моде. При величина те» Число мод равно числу степеней свободы поля в резонаторе (см. § 103).

Задача 1. Найти сечение поглощения и вынужденного излучения двухуровневой системы из условия термодинамического равновесия.

Условие равновесия на резонансной частоте в единичном интервале запишем в виде

Здесь — резонансное сечение поглощения; — плотности атомов на нижнем и верхнем уровнях соответственно; — среднее время спонтанного излучения с переходом — эффективная ширина спектра спонтанного излучения.

В термодинамическом равновесии

Подставляя выражения (141.1), (141.5) в (141.4), получаем

Последнее неравенство связано с тем, что произведение причем равенство достигается в случае естественной ширины спектральной линии (см. (142.14) ниже). Обычно же например, из-за доплеровского уширерения. Уменьшение сечения при объясняется тем, что фотоны взаимодействуют только с частью атомов вблизи резонансной частоты

Из условия термодинамического равновесия (141.4) следует еще один важный вывод. Перепишем это уравнение в виде

где — вероятность спонтанного перехода на один атом, — вероятность спонтанного излучения на один атом. Отсюда отношение вероятностей

Общая картина усиления излучения может быть представлена теперь следующим образом. Пусть среда состоит из атомов, способных совершать переходы с испусканием или поглощением излучения некоторой частоты и пусть концентрация возбужденных атомов, способных испускать излучение, по каким-то причинам превышает, концентрацию невозбужденных поглощающих атомов Такая среда называется активной. Если сквозь активную среду проходит монохроматическая волна частоты ее интенсивность будет возрастать в результате того, что вклад вынужденного излучения возбужденных атомов преобладает над потерями на поглощение. Если пренебречь для простоты всеми остальными потерями, кроме резонансного поглощения, то уравнение для усиления плотности потока энергии имеет вид

где I — средняя длина «размножения» фотонов. Отсюда

В термодинамическом равновесии и эти же соотношения описывают затухание волны вследствие резонансного поглощения. Простой закон с справедлив до тех нор, пока концентрации можно считать неизменными. Однако при достаточно большой интенсивности волны (из-за равенства сечений и поглощение волны уменьшается. Это так называемый эффект насыщения, или просветление среды, на который впервые указал Вавилов. Уравнение (141.8) становится при этом нелинейным, так как I зависит от (см. задачу 2). Этот эффект положил начало так называемой нелинейной оптике.

Задача 2. Найти закон резонансного поглощения монохроматической волны произвольной интенсивности.

Прежде всего найдем соотношение между плотностью фотонов и равновесными концентрациями предполагая, что уменьшение концентрации связано только со спонтанным излучением со временем Условие равновесия имеет теперь вид

Отсюда, учитывая, что находим

где называемая плотность насыщения (фотонов). Подставляя этот результат в (141.8), найдем

Интегрируя, получим

Таким образом, I — полный пробег волны большой интенсивности, средняя длина затухания волны малой интенсивности.

Аналогичный эффект насыщения имеет место и при усилении волны в активной среде. В этом случае начальная инверсия надает по мере роста интенсивности волны, что приводит к уменьшению коэффициента усиления. Равновесное значение в каждой точке активной среды будет определяться конкуренцией вынужденного излучения и накачки. Последнюю будем характеризовать величиной инверсии в отсутствие поля и временем релаксации инверсии (см. § 143).

Задача 3. Найти закон роста интенсивности волны в активной среде для описанной модели накачки в пренебрежении нерезонансными потерями.

Найдем прежде всего равновесную инверсию в зависимости от интенсивности волны. Аналогично (141.10) запишем.

откуда

Тогда (141.8) принимает вид

где -Дио. Решая это уравнение, получаем

Решение полностью аналогично обратному процессу затухания (141.12). В частности, при имеем или

Таким образом, при большой интенсивности волны ее дальнейшее усиление идет по линейному закону и определяется только интенсивностью накачки