§ 108. ЛИНЗА КАК ФУРЬЕ-АНАЛИЗАТОР

Плоская волна без учета дифракции фокусируется в точку фокальной плоскости линзы. Поле произвольного вида, как мы знаем, можно разложить по плоским волнам

Пропустив эту волну через линзу, получим в этом приближении в ее фокальной плоскости поле, напряженность которого т. е. поле в фокальной плоскости пропорционально фурье-образу исходного поля. Таким образом, линза производит фурье-преобразование поля в пространстве поперечных волновых чисел Влияние дифракции можно учесть при помощи интеграла Кирхгофа. При прохождении через тонкую линзу волна приобретает фазовый сдвиг в соответствии с (102.3), так что в плоскости 2 (рис. XVII.4), опуская постоянные фазовые множители, получим

Поле на экране согласно (98.13)

Подставляя сюда (108.1) и преобразуя показатель экспоненты, при запишем:

Интеграл берется по апертуре линзы, которая много больше X, поэтому пределы можно принять равными бесконечности. Поскольку напряженность пропорциональна фурье-компоненте поля по волновым числам

Действие линзы как фурье-преобразователя убедительно демонстрирует опыт Аббе — Портера (Аббе, 1873 г.,Портер, 1906 г.), состоящий в следующем. С помощью объектива на экран проектируют изображение проволочной сетки (рис. XVII.5, а). В фокальной плоскости объектива фурье-образ

Рис. XVII.4. К расчету фурье-преобразования с помощью тонкой линзы.

(кликните для просмотра скана)

останется изображение только... вертикальных проволок сетки (см. рис. XVI 1.5, б).

Опыт Аббе — Портера положил начало целому направлению в оптике — оптической фильтрации (§ 112).