Главная > Электромагнитное поле. Часть 2. Электромагнитные волны и оптика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 89. ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ТОНКАЯ ЛИНЗА

Приближение геометрической оптики позволяет дать простое описание оптических систем — устройств, преобразующих пучки световых лучей.

Среди всех преобразований простейшими являются линейные преобразования, которые, включают в себя фокусировку (дефокусировку)

пучков и их поворот — отражение и преломление. В случав преобразования типа фокусировки каждый луч претерпевает отклонение на угол, пропорциональный его расстоянию от некоторой оси или плоскости. При повороте все лучи в пучке отклоняются на один и тот же угол. Фокусировка осуществляется при помощи линз или кривых зеркал, а поворот — с помощью плоских зеркал (отражение) или призм (преломление, полное внутреннее отражение — см. § 72—74).

В этом параграфе мы рассмотрим фокусирующие свойства различных элементов, используя матричный метод, развитый в электронной оптике и физике ускорителей заряженных частиц.

Фокусировка сферической границей. Рассмотрим прохождение луча через сферическую поверхность радиуса кривизны разделяющую две среды с показателями преломления (рис. XIII.3). Записав закон преломления на границе и геометрические соотношения

получим систему уравнений, связывающих углы луча перед и за границей. Направления отсчета углов показаны на рис. XIII.3. Радиус кривизны границы также определен со знаком: если центр сферы лежит справа от границы. Если считать все углы малыми,

то уравнения (89.1) становятся линейными, т. е. значительно упрощаются. Такое приближение называется в оптике параксиальным, буквально это означает «приосевой». Тогда из (89.1) найдем для

Рассмотрим пучок лучей, параллельных оси слева от границы и пусть Из (89.3) следует, что справа от границы все лучи проходят через точку на оси с координатой

которая называется фокусом. Координату фокуса, отсчитанную от границы, будем обозначать Если лучи пучка параллельны оси справа от границы, то фокус расположен слева от границы в точке с координатой

То же самое будет и в случае т. е. сферическая

Рис. XIII.3. Фокусировка сферической границей.

Рис. XIII.4. Действительный (в) и мнимый (б) фокусы.

граница фокусирует пучок лучей при условии (рис. XIII.4, а).

В случае величина и пучок лучей нигде не пересекается, т. е. сферическая поверхность дефокусирует пучок лучей (рис. XIII.4, б). В этом случае точку с координатой называют мнимым фокусом.

Так как на границе преобразование координаты угла луча с осью при пересечении границы можно представить в матричной форме:

Порядок индексов матрицы указывает направление движения Отметим, что детерминант матрицы

В параксиальном приближении любая поверхность может рассматриваться как сферическая. Фактически поверхности линз действительно выполняются в виде сфер, так как это единственная поверхность, которая может быть изготовлена с необходимой точностью.

Тонкая аксиальная линза — элемент оптических систем, образованный пересечением двух сферических границ. Прямая, соединяющая их центры, называется осью линзы. Линза считается тонком, если изменение координаты луча внутри линзы пренебрежимо мало (рис. XIII.5):

Координаты и углы луча в плоскостях II и I связаны между собой двумя преобразованиями типа (89.6)

Здесь индексом обозначены параметры, относящиеся к области внутри линзы. Обратим внимание на порядок перемножения матриц — он следует направлению хода луча: вначале координата и угол луча в плоскости I преобразуются в плоскость 0 умножением

Рис. XIII.5. Тонкая линза.

на матрицу М, а затем — в плоскость II умножением на матрицу . В приближении тонкой линзы положение плоскостей I, 0, II (но не порядок их расположения!) не определено — это результат условия (89.7), вырождение снимается в случае толстой линзы (§ 90).

Производя операцию перемножения матриц, найдем

где величина определяемая как

есть координата фокуса тонкой линзы, выполненной из материала с показателем преломления и помещенной на границе двух сред с показателями преломления Для линзы в воздухе получим

В дальнейшем мы ограничимся именно этим случаем.

В том, что — действительно координата фокуса, нетрудно убедиться, найдя точку, в которой пересекается с осью луч, падающий на линзу параллельно ее оси, т. е. луч

отсюда

Рис. XIII.6. Построение изображения в тонкой линзе.

Рис. XIII.7. Фокальная плосцость тонкой линзы.

Как и прежде, радиусы определены со знаком. В частности, для линзы, изображенной на рис. XIII.5, .

Аналогично получим для луча, параллельного оси в области II, Величина (со знаком) называется оптической силой линзы и измеряется в диоптриях: 1 диоптрия Для фокусирующей линзы

Матрица преобразования для линзы в воздухе имеет простой

В этом случае луч, пересекающий линзу в точке, лежащей на оси линзы (центр линзы), не претерпевает отклонения. Действительно, если то Вместе с лучом, падающим на линзу параллельно ее оси, этот луч образует базисную пару, служащую для построения изображения в тонкой линзе. Две точки А и В называются сопряженными, или, что то же самое, являются изображениями друг друга, если любой луч, проходящий через точку А, пройдет и через точку В. Ясно, что базисные лучи также будут пересекаться в сопряженных точках. Отсюда вытекает простое правило построения изображения, которое иллюстрирует рис. XIII.6. Из геометрических соотношений этого рисунка следует также

откуда

Точки, расстояние которых до линзы удовлетворяет соотношению (89.14), лежат в сопряженных плоскостях, ортогональных оси линзы. Плоскость, проходящая через фокус линзы и ортогональная ее оси, называется фокальной. Сопряженная ей плоскость расположена в бесконечности, а пучок параллельных лучей, пересекающих ось линзы под некоторым углом фокусируется в точку фокальной плоскости (рис. XIII.7). Величина V в (89.13) называется линейным увеличением линзы, а лучи, проходящие через

края линзы или диафрагмы и ограничивающие пучок на рис. XIII.6) - апертурными. Отношение углов раствора этих лучей будет угловым увеличением

Задача 1. Пользуясь матричным методом, получить формулу тонкой линзы (89.14).

Для координат луча выходящего из точки А, матрица преобразования из А в В является произведением трех матриц:

Здесь слева и справа от матрицы линзы стоят матрицы свободного пространства, где свет распространяется прямолинейно. В результате

Для сопряженных точек А и В величина не зависит от (луч, проходящий через А под любым углом к оси, проходит и через В). Поэтому коэффициент при в первом уравнении равен нулю, что и дает (89.14).

Задача 2. Определить глубину резкости объектива. Указание: если две плоскости сопряженные, то изображение точки в плоскости считается резким, если размер этого изображения не превышает некоторой величины определяемой разрешающей способностью фотоматериала или объектива.

Пусть диаметр апертурного отверстия объектива Тогда изображение точки в плоскости будет иметь размер, ограниченный апертурными лучами Воспользовавшись построениями, приведенными на рис. XIII.8, и учитывая, что сопряженные точки удовлетворяют соотношению (89.14), найдем Отсюда глубина резкости

Последнее выражение справедливо для фотоаппаратов, где обычно а Отсюда и следует сравнительно большое значение глубины резкости фотообъектива. Так, для типичного объектива с разрешением мм), фокусным расстоянием 50 мм и относительным отверстием глубина резкости для составляет примерно

Сферическое зеркало, как и сферическая граница, обладает фокусирующими свойствами (рис. XIII.9) и в параксиальном приближении эквивалентно комбинации оптических элементов «плоское зеркало тонкая линза». Фокусное расстояние последней равно половине радиуса кривизны зеркала. Подробнее этот вопрос рассмотрен в § 129 (задачи 1, 2). Там же показано, что сферическое зеркало является частным случаем параболического, которое фокусирует и широкие (непараксиальныё) пучки.

Рис. XIII.8. К определению глубины резкости объектива.

Рис. XIII.9. Фокус параболического зеркала.

В заключение параграфа отметим, что все сказанное о линзах, ограниченных сферическими поверхностями, относится и к так называемым цилиндрическим линзам, поверхность которых ограничена цилиндрами с параллельными осями. Такая линза фокусирует параллельный пучок лучей не в точку, а в линию, параллельную осям цилиндров, а все оптические преобразования происходят только в плоскости, ортогональной их осям.

1
Оглавление
email@scask.ru