§ 89. ЭЛЕМЕНТЫ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ. ТОНКАЯ ЛИНЗА

Приближение геометрической оптики позволяет дать простое описание оптических систем — устройств, преобразующих пучки световых лучей.

Среди всех преобразований простейшими являются линейные преобразования, которые, включают в себя фокусировку (дефокусировку)

пучков и их поворот — отражение и преломление. В случав преобразования типа фокусировки каждый луч претерпевает отклонение на угол, пропорциональный его расстоянию от некоторой оси или плоскости. При повороте все лучи в пучке отклоняются на один и тот же угол. Фокусировка осуществляется при помощи линз или кривых зеркал, а поворот — с помощью плоских зеркал (отражение) или призм (преломление, полное внутреннее отражение — см. § 72—74).

В этом параграфе мы рассмотрим фокусирующие свойства различных элементов, используя матричный метод, развитый в электронной оптике и физике ускорителей заряженных частиц.

Фокусировка сферической границей. Рассмотрим прохождение луча через сферическую поверхность радиуса кривизны разделяющую две среды с показателями преломления (рис. XIII.3). Записав закон преломления на границе и геометрические соотношения

получим систему уравнений, связывающих углы луча перед и за границей. Направления отсчета углов показаны на рис. XIII.3. Радиус кривизны границы также определен со знаком: если центр сферы лежит справа от границы. Если считать все углы малыми,

то уравнения (89.1) становятся линейными, т. е. значительно упрощаются. Такое приближение называется в оптике параксиальным, буквально это означает «приосевой». Тогда из (89.1) найдем для

Рассмотрим пучок лучей, параллельных оси слева от границы и пусть Из (89.3) следует, что справа от границы все лучи проходят через точку на оси с координатой

которая называется фокусом. Координату фокуса, отсчитанную от границы, будем обозначать Если лучи пучка параллельны оси справа от границы, то фокус расположен слева от границы в точке с координатой

То же самое будет и в случае т. е. сферическая

Рис. XIII.3. Фокусировка сферической границей.

Рис. XIII.4. Действительный (в) и мнимый (б) фокусы.

граница фокусирует пучок лучей при условии (рис. XIII.4, а).

В случае величина и пучок лучей нигде не пересекается, т. е. сферическая поверхность дефокусирует пучок лучей (рис. XIII.4, б). В этом случае точку с координатой называют мнимым фокусом.

Так как на границе преобразование координаты угла луча с осью при пересечении границы можно представить в матричной форме:

Порядок индексов матрицы указывает направление движения Отметим, что детерминант матрицы

В параксиальном приближении любая поверхность может рассматриваться как сферическая. Фактически поверхности линз действительно выполняются в виде сфер, так как это единственная поверхность, которая может быть изготовлена с необходимой точностью.

Тонкая аксиальная линза — элемент оптических систем, образованный пересечением двух сферических границ. Прямая, соединяющая их центры, называется осью линзы. Линза считается тонком, если изменение координаты луча внутри линзы пренебрежимо мало (рис. XIII.5):

Координаты и углы луча в плоскостях II и I связаны между собой двумя преобразованиями типа (89.6)

Здесь индексом обозначены параметры, относящиеся к области внутри линзы. Обратим внимание на порядок перемножения матриц — он следует направлению хода луча: вначале координата и угол луча в плоскости I преобразуются в плоскость 0 умножением

Рис. XIII.5. Тонкая линза.

на матрицу М, а затем — в плоскость II умножением на матрицу . В приближении тонкой линзы положение плоскостей I, 0, II (но не порядок их расположения!) не определено — это результат условия (89.7), вырождение снимается в случае толстой линзы (§ 90).

Производя операцию перемножения матриц, найдем

где величина определяемая как

есть координата фокуса тонкой линзы, выполненной из материала с показателем преломления и помещенной на границе двух сред с показателями преломления Для линзы в воздухе получим

В дальнейшем мы ограничимся именно этим случаем.

В том, что — действительно координата фокуса, нетрудно убедиться, найдя точку, в которой пересекается с осью луч, падающий на линзу параллельно ее оси, т. е. луч

отсюда

Рис. XIII.6. Построение изображения в тонкой линзе.

Рис. XIII.7. Фокальная плосцость тонкой линзы.

Как и прежде, радиусы определены со знаком. В частности, для линзы, изображенной на рис. XIII.5, .

Аналогично получим для луча, параллельного оси в области II, Величина (со знаком) называется оптической силой линзы и измеряется в диоптриях: 1 диоптрия Для фокусирующей линзы

Матрица преобразования для линзы в воздухе имеет простой

В этом случае луч, пересекающий линзу в точке, лежащей на оси линзы (центр линзы), не претерпевает отклонения. Действительно, если то Вместе с лучом, падающим на линзу параллельно ее оси, этот луч образует базисную пару, служащую для построения изображения в тонкой линзе. Две точки А и В называются сопряженными, или, что то же самое, являются изображениями друг друга, если любой луч, проходящий через точку А, пройдет и через точку В. Ясно, что базисные лучи также будут пересекаться в сопряженных точках. Отсюда вытекает простое правило построения изображения, которое иллюстрирует рис. XIII.6. Из геометрических соотношений этого рисунка следует также

откуда

Точки, расстояние которых до линзы удовлетворяет соотношению (89.14), лежат в сопряженных плоскостях, ортогональных оси линзы. Плоскость, проходящая через фокус линзы и ортогональная ее оси, называется фокальной. Сопряженная ей плоскость расположена в бесконечности, а пучок параллельных лучей, пересекающих ось линзы под некоторым углом фокусируется в точку фокальной плоскости (рис. XIII.7). Величина V в (89.13) называется линейным увеличением линзы, а лучи, проходящие через

края линзы или диафрагмы и ограничивающие пучок на рис. XIII.6) - апертурными. Отношение углов раствора этих лучей будет угловым увеличением

Задача 1. Пользуясь матричным методом, получить формулу тонкой линзы (89.14).

Для координат луча выходящего из точки А, матрица преобразования из А в В является произведением трех матриц:

Здесь слева и справа от матрицы линзы стоят матрицы свободного пространства, где свет распространяется прямолинейно. В результате

Для сопряженных точек А и В величина не зависит от (луч, проходящий через А под любым углом к оси, проходит и через В). Поэтому коэффициент при в первом уравнении равен нулю, что и дает (89.14).

Задача 2. Определить глубину резкости объектива. Указание: если две плоскости сопряженные, то изображение точки в плоскости считается резким, если размер этого изображения не превышает некоторой величины определяемой разрешающей способностью фотоматериала или объектива.

Пусть диаметр апертурного отверстия объектива Тогда изображение точки в плоскости будет иметь размер, ограниченный апертурными лучами Воспользовавшись построениями, приведенными на рис. XIII.8, и учитывая, что сопряженные точки удовлетворяют соотношению (89.14), найдем Отсюда глубина резкости

Последнее выражение справедливо для фотоаппаратов, где обычно а Отсюда и следует сравнительно большое значение глубины резкости фотообъектива. Так, для типичного объектива с разрешением мм), фокусным расстоянием 50 мм и относительным отверстием глубина резкости для составляет примерно

Сферическое зеркало, как и сферическая граница, обладает фокусирующими свойствами (рис. XIII.9) и в параксиальном приближении эквивалентно комбинации оптических элементов «плоское зеркало тонкая линза». Фокусное расстояние последней равно половине радиуса кривизны зеркала. Подробнее этот вопрос рассмотрен в § 129 (задачи 1, 2). Там же показано, что сферическое зеркало является частным случаем параболического, которое фокусирует и широкие (непараксиальныё) пучки.

Рис. XIII.8. К определению глубины резкости объектива.

Рис. XIII.9. Фокус параболического зеркала.

В заключение параграфа отметим, что все сказанное о линзах, ограниченных сферическими поверхностями, относится и к так называемым цилиндрическим линзам, поверхность которых ограничена цилиндрами с параллельными осями. Такая линза фокусирует параллельный пучок лучей не в точку, а в линию, параллельную осям цилиндров, а все оптические преобразования происходят только в плоскости, ортогональной их осям.