§ 125. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

Если дипольный заряд системы, а точнее вторая производная дипольного момента по времени, равняется нулю, то это еще не означает, что такая система не может излучать вообще. Действительно, обращаются в нуль поля излучения (124.3), найденные в дипольном приближении, и в этом случае нужно учесть следующие члены разложения в выражениях для потенциалов. Соответственно получим так называемое квадруполъное излучение, вызванное изменением квадрупольного момента, магнитодиполъное излучение, вызванное изменением магнитного дипольного момента системы, и т. д.

Рассмотрим подробнее приближение, следующее за дипольным. Согласно (123.5), теперь нужно проанализировать потенциалы

Подынтегральное выражение в (125.1) можно представить в виде

Подстановка первого слагаемого приводит к знакомому выражению для магнитного момента системы Сумма в фигурных скобках после подстановки дает интеграл, который удобно преобразовать переходом от интегрирования по объему системы к суммированию по частицам, содержащимся в системе (ср. (123.10))

В результате векторный потенциал принимает вид

Этому выражению можно придать более компактную форму, если добавить к нему искусственно величину

Ниже будет показано (задача 1), что такая добавка не меняет значения поля в волновой зоне. Добавив получим

где

Он представляет собой произведение единичного вектора (см. рис. XIX. 1) на тензор квадрупольного момента системы зарядов

Следует обратить внимание на то, что вектор зависит от направления т. е. является функцией координат точки наблюдения, тогда как тензор квадрупольного момента (125.6) зависит только от распределения зарядов системы, т. е. является характеристикой системы зарядов.

Модифицированный потенциал найдем из условия Лоренца . В результате получим

Задача 1. Вычислить поле в волновой зоне для потенциалов Аналогично (124.1) найдем ,

Из соотношения (125.8) следует, что добавка не дает вклада в так как

Электрическое поле получим, отбрасывая члены порядка

откуда

Добавки не дают вклада в выражение для Е, так как

Результаты задачи 1 показывают, что электромагнитное поле потенциалов представляет собой в волновой зоне плоскую волну. Значения потенциалов и поля определяются магнитным и квадрупольным моментами системы. Излучение в этом приближении принято называть магнитодипольным квадрупольным. Его интенсивность

Задача 2. Найти полную интенсивность излучения с учетом магнитодипольного и цвадруполыюго излучений.

Аналогично (124.4), (124.5) запишем

где описывается соотношением (125.8). Выберем для определенности систему декартовых координат так, чтобы ее ось совпадала с вектором (рис. ХХ.5). Подставляя в выражение для поля, найдем

где

Проще всего вычислить первый интеграл. Раскрыв двойное векторное произведение в М! и возведя его в квадрат, найдем и соответственно интенсивность магнитодипольного излучения

что совпадает с выражением для электрического дипольного излучения (124.6).

Рис. ХХ.5. К вычислению интенсивности магнитодипольного и квадрупольного излучений.

Наиболее громоздким является вычисление второго члена:

Вектор согласно (125.6), имеет компоненты

где — компоненты вектора Тогда

Такрм образом, при вычислении возникает сумма членов, содержащих интегралы по телесному углу от двойных или четверных произведений компонент вектора Нетрудно убедиться, что

а при любых других комбинациях этот интеграл равен нулю. С учетом этого получаем

Чтобы прийти к этим результатам, необходимы довольно длинные вычисления с использованием свойств тензора квадрупольного момента

Из (125,11) следует, что интенсивность квадрупольного излучения

Краткая запись означает суммирование как это показано в (125.11).

Осталось, наконец, последнее слагаемое, содержащее Вычислив скалярное произведение

убеждаемся, что интеграл по телесному углу от него равен нулю (в первой сумме не обращается в нуль член, содержащий а во второй — содержащий но в силу симметрии (125.12) их разность также дает нуль). Отметим, что аналогично исчезают перекрестные члены и при вычислении интенсивности излучения с учетом всех приближений — от дипольного до цвадруполыюго, т. е.

Интенсивность магнитодипольного и квадрупольного излучений одного порядка. Это имеет следующее простое объяснение. С одной стороны, повышение мультипольности системы зарядов на единицу приводит к появлению дополнительного множителя в интенсивности излучения (см. разложение (123.5)). С другой стороны, величина магнитного меньше электрического мультиполя того же номера в раз, поскольку первый создается токами Поэтому в интенсивности появляется малый дополнительный множитель Отсюда можно дать общую оценку интенсивности излучения электрических и магнитных мультиполей

где — интенсивность дипольного излучения (124.6).

Наличие у системы магнитных и/или электрических мультиполей зависит от ее структуры. Так, магнигодипольное излучение (как и электрическое) отсутствует у замкнутой системы, состоящей из частиц с одинаковым значением (задача 2, § 124), так как для такой системы (см. § 36) и

Задача 3. Найти полную интенсивность излучения пары электронов, вращающихся в магнитном поле по одной и той же круговой орбите и расположенных диаметрально противоположно.

Диполыгое излучение у такой системы отсутствует: Однако эта система не замкнута: частицы удерживаются магнитным полем на круговой орбите. Магнитный момент такой системы постоянен:

Поэтому и магнитодипольное излучение также отсутствует. Квадрупольный момент определим, выбрав начало координат в центре окружности и направив ось вдоль оси вращения, так что

Соответственно

Тогда из (125.14) получим

Задача 4. Оценить характерное время поляризации во внешнем магнитном поле сгустка заряженных частиц, обладающих собственным магнитным моментом. (Здесь под поляризацией понимается процесс ориентации («выстраивания») магнитных моментов частиц вдоль направления внешнего магнитного поля. Частицы можно считать не взаимодействующими друг с другом и покоящимися, тогда их магнитные моменты прецессируют вокруг направления магнитного поля Н (см. § 36). Это, конечно, упрощенная модель реальной ситуации в пучке заряженных частиц, циркулирующих в накопителе.)

Изчза прецессии момента частицы излучают, так что потенциальная энергия магнитного момента во внешнем поле уменьшается:

Используя связь между магнитным и механическим моментами и выражение для угловой скорости прецессии (см. § 36) , найдем Величина задана уравнением прецессии магнитного и механического моментов во внешнем магнитном поле , откуда и. при этом мы считаем, конечно, что влияние излучения на прецессию мало, т. е. поворот момента в пространстве (поляризация) вследствие потери энергии на излучение происходит медленно по сравнению со скоростью процессии. Отметим, что магнитодипольное излучение уносит момент импульса частицы.

Подставляя в последнее уравнение выражение для получим

откуда

или

— угол между направлениями поля и момента. Приняв для простоты получим решение в виде

Таким образом, есть характерное время для перехода момента из состояния «поперек поля» в состояние «вдоль поля» Это характерное время поляризации можно записать в виде

Если сгусток частиц движется по некоторой траектории в магнитном поле ускорителя-накопителя, то время поляризации сгустка в лабораторной системе, где