§ 122. ПОЛЕ ЗАРЯДА, ДВИЖУЩЕГОСЯ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ

Выражения (121.4), (121.5) для поля движущегося заряда содержат функции координат заряда в момент времени Обычно известен закон движения заряда, а значит, и положение заряда в момент измерения. Соответствующий пересчет координат и времени в общем случае представляет собой весьма громоздкую операцию. Существует, однако, важный частный случай, когда этот пересчет довольно прост и приводит к простым и «удобным для употребления» результатам — это случай заряда, движущегося равномерно и прямолинейно. Тогда

Последнее соотношение для Н и Е следует из общего соотношения (115.11) для зарядов, покоящихся в одной из инерциальных систем. В то же время равенство непосредственно следует из , поскольку .

Преобразуем выражения (122.1) к координатам заряда в момент измерения Введем вспомогательный вектор (см. рис. XIX.4): . Тогда, записав выражение для Е в виде

найдем

где углы и 0 показаны на рис. XIX.4. Используя эти результаты, получим

Таким образом, отличие от нерелятивистокого (кулоновского) случая состоит в появляющейся анизотропии полей — величина

Рис. XIX.4. К расчету полей равномерно движущегося заряда.

Рис. XIX.5. Векторная диаграмма электрического поля заряда, движущегося с постоянной скоростью.

Размер каждой стрелки пропорционален Случай

на поля существенно зависит от направления на точку наблюдения (угол ). Поля имеют максимальное значение в плоскости и минимальное — на прямой, совпадающей с вектором

(см. рис. XIX. 5). Эти результаты имеют ясный физический смысл. В системе, где заряд покоится, его поле является кулоновским полем точечного заряда. В лабораторной системе поперечная компонента поля возрастает в 7 раз, а продольная или не изменяется, но зато в у раз сжимается расстояние в системе заряда.

Задача 1. Выразить потенциалы Лиенара — Вихерта для заряда, движущегося с постоянной скоростью, через координаты заряда в момент наблюдения

Подставляя в (120.5) значение найденное выше, получим

Задача 2. Найти значение для потенциалов (122.3)

Здесь учтено, что как движется заряд, а точка Р фиксирована — см. рис. XIX.4). Кроме того,

Подстановка этого результата в (122,5) и суммирование (122.4), (122.5) дают выражения для полей (122.2).

Задача 3. Проверить, выполняется ли для электрического поля (122.2) условие потенциальности

Учитывая, что электрическое поле заряда, движущегося с постоянной скоростью, имеет только радиальную компоненту и воспользовавшись выражением для ротора в сферических координатах, найдем

Отсюда видно, что поле становится потенциальным при нерелятивистских скоростях Непотенциальность электрического поля движущегося заряда связана с присутствием переменного магнитного поля