§ 100. ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА

Рассмотрим важный частный случай дифракции Фраунгофера на периодической структуре — дифракционной решетке. Такие оптические устройства представляют собой набор прозрачных щелей, разделенных непрозрачными полосами. Обычно это — стеклянные пластинки с нанесенными на них параллельными линиями. Схема такой решетки показана на рис. XV.15.

Пусть решетку освещает плоская монохроматическая волна, падающая вдоль оси z, ортогональной плоскости решетки, а

Рис. XV.15. Схема дифракционной решетки.

интерференционная (дифракционная) картина наблюдается на экране расположенном в фокальной плоскости линзы. В этом случае выполнены условия дифракции Фраунгофера (98.14) (интерференция в «бесконечности»), и можно воспользоваться результатами для дифракции Фраунгофера на щели. Если период одномерной решетки а, а ширина прозрачной щели то рассмотрение аналогично тому, которое проведено в § 97. Согласно (98.14) найдем

Здесь — полное число щелей решетки, освещенных падающей на нее волной, Произведя интегрирование и суммируя возникающую геометрическую прогрессию, найдем интенсивность

Формула (100.2) содержит три сомножителя, каждый из которых имеет определенный физический смысл. Набор коэффициентов перед скобками есть интенсивность волны, дифрагированной под углом — нулевой максимум

Характерно, что эта величина равна произведению интенсивности волны, прошедшей через щель на квадрат числа щелей а не на — результат когерентности полей в каждой из щелей.

Второй сомножитель описывает дифракцию на щели (сравни с (97.7)). Его роль мы обсудим ниже. Третий сомножитель учитывает эффект интерференции волн, прошедших через разные щели.

Распределение (100.2) удобно нормировать на нулевой максимум

(кликните для просмотра скана)

В этой форме особенно просто исследовать функцию (рис. XV. 16). В точках, где аргумент а принимает значения

расположены главные максимумы. Их величина убывает с номером как

Номер называют порядком максимума. Отметим, что расстояние между максимумами обратно пропорционально периоду структуры а.

Кроме главных, функция содержит вторичные максимумы, расположенные в точках

а их интенсивности Для вторичных максимумов, расположенных между главными максимумами, значение параметра поэтому

Таким образом, вторичные максимумы по порядку величины в раз меньше главных и в практически интересных случаях неразличимы. Это обстоятельство хорошо иллюстрируют кривые, приведенные на рис. XV.16.

Ширина главного максимума по основанию соответствует сдвигу на аргумента «быстрого» синуса в , так что

где — апертура решетки. Ясно, что это не только очень малый абсолютный угловой размер, но и относительный:

Эта величина, как мы увидим в гл. XVI, определяет спектральную разрешающую способность решетки.

Задача 1. Найти распределение интенсивности в дифрагированной волне при косом падении первичной волны на дифракционную решетку (рис. XV.17). Теперь пале в каждой из щелей решетки описывается выражением

Рис. XV.17. Схема дифракционной решетки с косым падением первичной волны,

Подставив это соотношение в (100.1), найдем

Нетрудно видеть, что результат сводится к замене в на Итак, максимум нулевого порядка лежит теперь под углом а вся дифракционная картина повернута на угол

Обратим внимание на одно важное обстоятельство: при больших 0 необходимо использовать соотношения так что в (100.4)

В частности, для углов дифракции, близких к получим

т. е. в этом случае структура дифракционной картины определяется величиной которая много меньше а при углах падения близких к («скользящее» падение), что позволяет повысить разрешающую способность дифракционной решетки (см. (100.5)).

Обсудим теперь роль апертурной функции Она представлена на рис. XV. 16, а и является огибающей функции (100.4) в общем случае Аргумент апертурной функции позволяет оценить угловой размер дифракционной картины:

Эти соотношения показывают, что для наблюдения высоких порядков дифракционной картины необходимо уменьшать — ширину прозрачных полос решетки. В результате, естественно, снижается интенсивность света, прошедшего сквозь решетку. В частном случае мы приходим к рассмотренной в гл. XIV схеме Юнга. Как мы теперь видим, для получения бесконечной по экрану интерференционной картины в схеме Юнга кроме монохроматичности и точечности опорного источника требуется также точечность отверстий в экране. Аналогичные вопросы возникают при рассмотрении схемы любого двухлучевого интерферометра. При этом обычно и дифракция сказывается, как правило, не на протяженности интерференционной картины, как в идеализированной схеме Юнга, а на размытии интерференционных полос (см. задачу 2).

Задача 2. Оценить влияние дифракции на апертуре в интерферометр» Майкельсона, работающем по схеме линий равного наклона. Размер апертурного отверстия разность плеч интерферометра

Рис. XV.18. Эквивалентная схема интерферометра в режиме полос равного наклона. Дифракция на апертуре зеркал.

Проследим за лучом, падающим на зеркало (см. рис. XIV.12) под углом к оси интерферометра. Разность хода между двумя интерферирующими Лучами, возникающими при делении луча зеркалом есть (см. (95.6)). Распределение интенсивности на экране х интерферометра в пренебрежении дифракцией на апертуре описывается соотношением (95.4), которое в простейшем случае симметричного интерферометра имеет вид

Учтем дифракцию на апертуре, приняв, что интерферирующие потоки ограничены размерами зеркал которые одинаковы и равны Тогда плоская волна, падающая на интерферометр под углом к его оси, после делении на зеркале претерпевает дифракцию и отражение на зеркалах Волны, дифрагированные под углом 9 к оси интерферометра (рис. XV.18), сводятся линзой на экране х и интерферируют. Задача во многом аналогична предыдущей при Однако теперь «щели» — зеркала разнесены вдоль оси Поэтому поля волн, падающих на зеркала (см. рис. XV.18),

Поля волн, дифрагированных на угол и пришедших на экран в точку сдвинуты по фазе из-за вторичного прохождения зазора волной от зеркала Поэтому вместо (100.11) получим

Если размеры зеркал велики, так что , дифракция не оказывает заметного влияния, так как множитель не мал только при Мы приходим к прежнему результату (100.15). По мере уменьшения размера зеркал дифракция «размывает» интерференционные полосы, пока, наконец, дифракционная ширина данной полосы не станет сравнимой с расстояниями между полосами и интерференционная картина не исчезнет. Расстояние между двумя соседними максимумами (см. задачу 1, § 95)

где — порядок центрального максимума, т. Ширина полосы вблизи максимума из-за дифракции на апертуре имеет значение

Интерференционная картина исчезает, если или

В спектроскопических задачах интерферометр Майкельсона используют в высоких порядках, вплоть до Даже и в этом случае соотношение (100.18) не дает реального ограничения размеров зеркал: мм.

Двумерная периодическая структура (например, система взаимно перпендикулярных линий, нанесенных с периодом а) образует дифракционную картину, которая описывается произведением двух функций вида (100.4), а суперпозиция полей, дифрагированных по обоим направлениям, образует на экране картину, показанную на рис. XV.19.

Изготовление оптических дифракционных решеток — довольно сложный технологический процесс, так как при большой плотности линий (порядка ) необходимо выдерживать с высокой точностью их параллельность, в противном случае возникают искажения дифракционной картины. Кроме того, решетка, работающая «на просвет», неизбежно и поглощает, что затрудняет работу со слабыми источниками и практически исключает применение таких решеток в ультрафиолетовой части оптического диапазона. К тому же неоднородная прозрачность по площади решетки, многократные отражения света на внутренних поверхностях решетки и т. приводят к появлению в дифракционной картине слабых паразитных линий (называемых «духами»), которые запутывают истинную картину. Более просты в изготовлении так называемые фазовые дифракционные решетки.

Рис. XV.19, Картина дифракции света гелий-неонового лазера на двумерной решетке (структура