§ 121. ПОЛЕ ДВИЖУЩЕГОСЯ ЗАРЯДА

Для вычисления поля движущегося заряда нужно потенциалы (120.5) подставить в выражения для полей и произвести дифференцирование с учетом запаздывания. В этом и состоит техническая трудность.

Получим вначале вспомогательные выражения. Поскольку

Здесь использовано соотношение

где - скорость заряда в момент

Градиент по координатам точки наблюдения от скалярной функции аргументов

В свою очередь,

откуда

Окончательно получим

Теперь найдем выражение для электрического поля:

Произведя дифференцирование по времени

и координатам найдем

Свернув это выражение, получим окончательно

Для нахождения магнитного поля вычислим по координатам точки наблюдения. С учетом (121.2) запишем

После дифференцирования в правой части возникает выражение, содержащее электрическое поле в форме (121.3). В результате необходимых преобразований получим

Таким образом, электрическое и магнитное поля точечного заряда, движущегося произвольно, взаимно ортогональны, как и в случае системы зарядов, движущейся равномерно. Однако для

произвольного движения соотношение (115.11) неприменимо (неинер-циальность системы покоя зарядов). В этом можно убедиться прямой проверкой, умножив векторно на Е и сравнив с

Сравнивая выражения для потенциалов (120.5) и полей (121.4), (121.5) произвольно движущегося заряда, мы видим, насколько описание с помощью потенциалов проще, что и оправдывает их широкое употребление в теории электромагнитного поля.