§ 133. УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ

Вначале, не конкретизируя причины, вызывающие ускорение заряженной частицы, рассмотрим общие свойства ее излучения при заданном ускорении Как мы уже видели выше (задача 1, § 132), компоненты силы, параллельные и перпендикулярные скорости частицы v, вызывают излучение существенно разной интенсивности. Это нетрудно понять, если вспомнить, что одинаковые по величине силы, одна из которых параллельна скорости, а другая перпендикулярна, создают разные по величине ускорения частицы:

По этим причинам мы рассмотрим отдельно составляющие излучения, связанные с каждой из двух компонент ускорения. Итак, пусть ускорение Как мы уже отмечали (см. § 124), выражения для поля движущейся частицы содержат и поле излучения — это слагаемые, обратно пропорциональные первой степени расстояния между зарядом и точкой наблюдения (§ 121):

Напомним, что все величины в правой части выражения для Е определены в момент времени

Введем мгновенно сопутствующую систему координат, начало которой поместим в точке, где в момент находится заряд, ось х

Рис. XXII.1. К расчету излучения релятивистской заряженной частицы. Ось х направлена вдоль векторов — проекция точки Р на плоскость : вектор лежит в плоскости и перпендикулярен вектор лежит в плоскости и ортогонален плоскости

направим вдоль вектора ось z — вдоль а ось у— ортогонально осям х, z. Направление на точку наблюдения Р (вектор ) будем описывать полярными углами Введем также единичные Еекторы первый из которых лежит в плоскости векторов и перпендикулярен вектору а второй ортогонален плоскости Векторы образуют правую тройку. Из геометрии рисунка ясно, что составляет с плоскостью угол лежит в плоскости и составляет с осью z угол Теперь можно приступить к анализу выражений (133.2).

Начнем с излучения, вызываемого продольной компонентой ускорения. Раскрывая двойное векторное произведение в (133.2) и учитывая, что

получим

Таким образом, при продольном ускорении частицы вектор лежит в плоскости . К этому вопросу мы вернемся в конце параграфа.

Поток энергии в единицу телесного угла есть

Диаграмма излучения обладает аксиальной симметрией относительно направления скорости (не зависит от см. рис. XXII.1). Максимум излучения, как следует из (133.4), лежит на направлении

При

а при имеем и выражение (133.4) переходит в знакомую формулу (124.5) для дипольного излучения. Излучение вдоль направления скорости (и ускорения) точно равно нулю, как и для нерелятивистской частицы. При переходе от малых скоростей частиц к большим диаграмма излучения все больше вытягивается вдоль вектора скорости (рис. XXII.2, а). В ультрарелятивистском случае излучение, как видно из (133.4), сосредоточено в телесном угле с

Теперь перейдем к обсуждению излучения частицы при поперечном (по отношению к ускорении. Двойное векторное произведение в (133.2) в этом случае может быть расписано с учетом выражений для проекций вектора на направления ортов

Рис. XXI1.2. Векторные диаграммы углового распределения излучения ускоренно движущейся частицы, а — продольное ускорение; — поперечное ускорение, плоскость в — поперечное ускорение, Диаграммы нормированы на максимум

Тогда

где — угол между векторами

В результате

Выражение для получим из (133.8) заменой Этот результат означает, что поле излучения поперечно ускоряемой частицы имеет две компоненты, одна из которых лежит в плоскости а другая ортогональна ей.

Угловое распределение излучения получим из (133.8) аналогично (133.4):

Это угловое распределение в случае произвольного значения достаточно сложно (рис. XXII.2, б, в). Аксиальная симметрия относительно направления скорости теперь отсутствует. Это и не удивительно, так как при излучающий релятивистский диполь ориентирован так, что вектор параллельный перпендикулярен вектору у. Правда, в соотношении (133.9) не так-то просто при «узнать» дипольное излучение

Однако из (133.7) следует, что

где между векторами так что (133.10) опять-таки совпадает с (124.5), и максимум излучения лежит при т. е. в плоскости, ортогональной частности, и на направлении вектора а излучение аксиально-симметрично относительно направления

Максиму излучения (133.9) лежит, очевидно, на направлении, для которого угол

а эта функция угла имеет максимум при Таким образом,

Итак, максимум излучения поперечно ускоряемой частицы лежит на направлении скорости частицы

В ультрарелятивистоком случае, как и для продольно ускоряемой частицы, излучение сосредоточено внутри угла

Зависимость поля излучения от времени в точке наблюдения задана функцией с учетом связи между и

Полученный результат показывает, что длительность импульса излучения, регистрируемая в точке наблюдения Р, зависит от расположения этой точки (угла — направления излучения. Это есть не что иное, как эффект Доплера. Спектральный состав излучения описывается фурье-образом функции и если частица ускоряется в течение интервала времени ширина спектра излучения, приходящего в точку Р, в соответствии с соотношением неопределенности имеет порядок

По мере смещения частицы направление на точку наблюдения (угол изменяется, соответственно изменяется со временем ориентация векторов точке наблюдения. Для продольно ускоряемой частицы вектор лежит в неподвижной плоскости так что излучение поляризовано линейно. Для поперечно ускоряемой частицы изменение углов может быть значительным, если траектория частицы существенно криволинейна. В этом случае поляризация излучения изменяется во времени.

Задача 1. Найти полную энергию, излучаемую электроном в интервале частот при ускорении в течение короткого интервала Рассмотреть ультрарелятивистский и нерелятивистский случаи.

Искомая величина пропорциональна спектру мощности излучения электрона и может быть определена как

где фурье-образ поля излучения на заданном направлении, а интеграл берется по всему телесному углу.

Поле излучения под углом к направлению скорости электрона имеет спектральную функцию

Используя соотношения

где — задержка, зависящая от расстояния до точки регистрации, видим, что модуль спектральной функции в приближении малых есть

Подставив этот результат в (133.16), найдем искомую величину, В ультрарелятивистском случае

В области низких частот (со спектр мощности

не зависит от частоты, а в области высоких частот

В нерелятивистском случае интегрирование дает

В области низких частот спектр мощности, как и в релятивистском случае, не зависит от частоты. Этот результат известен под названием «инфракрасной катастрофы» — число квантов низкой энергии, излучаемых частицей, стремится к бесконечности при

Однако полная излученная зпергия остается конечной.