Глава XX. ИЗЛУЧЕНИЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗАРЯДОВ

Рассмотрим механизм генерации электромагнитных волн системой зарядов, локализованных в некоторой ограниченной области пространства. Говоря о свободной волне, мы неоднократно подчеркивали, что она существует как самостоятельное поле, «оторвавшееся» от источника, не связанное с ним. Очевидно, признаком такой самостоятельности может служить постоянство потока энергии, переносимой полем волны, т. е.

если поверхность интегрирования охватывает источник, генерирующий волны, а потерями в среде, где распространяется излучение, можно пренебречь (в дальнейшем мы ограничимся случаем волны в вакууме). В этой связи уместно заметить, что понятие плоской волны является приближенным, не учитывающим ограниченность поля, а значит, и его расходимость в поперечных к вектору к направлениях из-за дифракции. Если же источник излучения, имеющий ограниченные размеры, испускает волны в полном телесном угле, то их амплитуда по мере удаления от источника должна убывать на больших расстояниях от источника как Это следует из записанного выше условия сохранения полной энергии волны. Действительно, выбрав в качестве поверхности интегрирования сферу и считая поле волны на больших расстояниях от источника сферически-симметричным относительно «точки» расположения

источника, получим

откуда следует, что при обе компоненты поля убывают с расстоянием как Такая зависимость поля от расстояния является характерным признаком излучения.

§ 123. ПОЛЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ НА БОЛЬШИХ РАССТОЯНИЯХ

Рассмотрим потенциалы (119.1) для системы зарядов на расстояниях, больших размеров системы. Для удобства вычислений начало отсчета, точку О поместим внутри системы (рис. ХХ.1):

Тогда

При разложении запаздывающих потенциалов возникают два малых параметра: геометрический (см. 123.1) и запаздывания

где — характерная скорость зарядов, — характерные частота и длина излучаемой волны. В соответствии с этим существуют две зоны электромагнитного поля: где запаздыванием (123.3) можно пренебречь, и поля определяются квазистационарным мультипольным разложением см. § 5, 34), и так называемая волновая зона

где основным при разложении является параметр запаздывания (123.3), а геометрическим можно полностью пренебречь. Подчеркнем, что параметр запаздывания является малым только в случае нерелятивистских скоростей зарядов (см.

Рис. ХХ.1. Структура поля дипольного излучения: Е и Н лежат в плоскости, ортогональной причем вектор Н ортогонален плоскости а вектор Е лежит в этой плоскости.

В волновой зоне запаздывающие потенциалы можно представить в виде

Отметим, что здесь , так как система нестационарная (ср. (34.3)), Первое слагаемое в выражении для есть

т. е. кулоновский потенциал системы зарядов, или нулевое приближение. Второе слагаемое содержит первую степень малого параметра запаздывания и может быть преобразовано к виду

Здесь применено интегрирование по частям, а замкнутая поверхность интегрирования выбрана за пределами системы зарядов. Потенциалы и

связаны между собой соотношением

и имеют одинаковый порядок малости. Оба потенциала могут быть выражены через дипольный момент системы зарядов, поскольку

где — заряды, образующие систему, — ее дипольный момент. Поэтому потенциалы

называют потенциалами системы зарядов в дипольном приближении. Еще раз подчеркнем, что дипольный момент здесь является функцией аргумента а потенциалы (123.11) описывают поле на большом расстоянии от системы.

Производя преобразования (123.10), следует «не терять бдительность», так как при замене мы еще работаем в так называемых эйлеровых координатах, когда координата точки пространства, а плотность заряда и скорость частиц в точке . В то же время, переходя к сумме по зарядам мы одновременно переходим к лагранжевым координатам координатам частиц. Переход от эйлеровой системы к лагранжевой в (123.10) сделан лишь из соображений простоты изложения, хотя, вообще говоря, он и не обязателен. Действительно, если взять по частям интеграл по объему, содержащему излучающие заряды (токи), от

и вынести поверхность интегрирования в первом интеграле справа за пределы объема, нетрудно получить следующую цепочку равенств:

которая и дает результат (123.10) в эйлеровых координатах.