§ 118. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ПОЛЯ

Локальный закон сохранения энергии поля можно записать также в тензорной форме Отсюда сразу следует, что сохраняется и импульс электромагнитного поля, так что всего имеется четыре локальных закона сохранения

Для ограниченного во времени и пространстве электромагнитного поля («кусок» поля) его полная энергия

и полный импульс

образуют, как и для любого другого физического объекта, 4-вектор энергии-импульса, который тоже сохраняется (интегральный закон сохранения энергии-импульса). Соответственно инвариантная масса поля определяется обычным выражением

и, вообще говоря, не равна нулю. Примером может служить система из двух фотонов, движущихся под углом друг к другу: Исключением является плоская волна, для которой откуда

Задача 1. Показать, что величины преобразуются, как компоненты 4-вектора.

Образуем скаляр

и проинтегрируем его по четырехмерному объему

Здесь элемент трехмерной гиперповерхности в четырехмерном пространстве, ортогональный измерению:

Воспользуемся приемом, который мы применяли уже неоднократно: выберем замкнутую поверхность интегрирования наиболее удобным образом. В данном случае все части поверхности, содержащие вынесем за объем, где поле отлично от нуля. Тогда наш интеграл по замкнутой трехмерной гиперповерхности будет содержать только интеграл по гиперповерхности, ортогональной т. е. по — трехмерному объему. В свою очередь, поверхность (напомним, что она охватывает объем с двух сторон!) выберем так, чтобы

на ее сторона была ортогональна а другая Тогда получим

Знак минус возникает из-за того, что нормаль к гиперповерхности направлена в одном случае внутрь объема, в другом — наружу.

Учитывая, что найдем

или

т. е. является 4-вектором.

Механические свойства электромагнитного поля вполне «осязаемы». Первым прямым экспериментальным доказательством их существования были знаменитые опыты Лебедева по измерению давления света Световой пучок падал на тонкую металлическую пластинку (толщиной мм в разных экспериментах), подвешенную в вакууме (около торр) на упругой нити. Одна половина пластины была зачернена, вторая хорошо отражала свет (рис. XVIII.1). В этом случае закручивающий момент

где — площадь пластинки, — расстояние между пластинками, — коэффициенты отражения пластинок. Чтобы оценить тонкость опытов Лебедева, достаточно отметить, что в них измерялись силы светового давления на уровне (заметим, что солнечный свет на поверхности Земли создает давление порядка или Кроме того, нужно было исключить паразитное влияние конвекционных потоков, возникающих при нагреве прибора (для этого пластинки нужно было располагать строго вертикально), и так называемое радиометрическое действие — импульс отдачи, передаваемый пластинкам молекулами остаточного газа при отражении. Лебедев получил согласие с выражением (118.5) в пределах точности порядка 20%. Только остроумная постановка опыта (в частности, применение резонансной раскачки крутильных колебаний под действием световых вспышек) позволила добиться этих результатов. Лишь 25 лет спустя Герлаху удалось на порядок улучшить точность опыта.

Рис. XVIII.1. Принципиальная схема опыта Лебедева.

Рис. XVIII.2. Схема опытов Лебедева по измерению давления света на газы. 1 — флюоритовые окошки; 2 — разделительная стенка; 3 — подвижный поршень на крутильных весах. Свет, проходя сквозь газ, передает ему механический импульс, что вызывает движение газа (штриховая линия со стрелками). Это движение регистрируется по повороту крутильных весов в направлении, показанном на рисунке.

В еще более тонких экспериментах Лебедев сумел измерить давление света на газы (рис. XVIII.2). Эти опыты принесли ему мировую славу замечательного физика-экспериментатора.

Подобно частицам, обладающим массой, свободное электромагнитное поле испытывает воздействие гравитационных сил. Так, проходя вблизи космических тел, световые лучи отклоняются. В частности, световой луч, касающийся поверхности Солнца, претерпевает отклонение на угол что было впервые экспериментально подтверждено английскими астрономами при наблюдении солнечного затмения в 1919 г. Свет, испущенный звездой, теряет энергию в ее гравитационном поле, что приводит к возрастанию его длины волны — так называемое гравитационное красное смещение.

Задача 2. Оценить угол отклонения светового луча, проходящего вблизи поверхности Солнца.

Для решения задачи рассмотрим движение частицы с массой покоя т. в центральном гравитационном поле. Пусть — прицельный параметр. В приближении малых углов найдем

где — скорость частицы, х — координата вдоль траектории, — сила, действующая на частицу и направленная от частицы к гравитационному центру: — гравитационная постоянная, М — в нашем случае масса Солнца, Тогда угол отклонения

Таким образом, от массы частицы угол отклонения не зависит и в интересующем нас случае светового луча над поверхностью Солнца

т. е. упрощенная оценка дает результат вдвое меньший точного, который был получен Эйнштейном на основе общей теории относительности.

Задача 3. Оценить влияние гравитации на длину волиы света, приходящего с Солнца на Землю.

Используем тот же подход пробной частицы с массой покоя т. В гравитационных полях Солнца и Земли ее энергия изменяется на

где — массы Солнца, Земли, — радиус Солнца, Земли, — расстояние между Землей и Солнцем. Отсюда

В присутствии зарядов и токов механические свойства электромагнитного поля уже нельзя описать вектором энергии-импульса. В частности, нельзя ввести инвариантную массу поля отдельно от массы частиц. Это связано с тем, что в присутствии заряженных частиц локальные законы сохранения (118.1) для поля уже не выполняются, поскольку имеет место обмен энергией и импульсом между частицами и полем. В таком случае вектор энергии-импульса (и массу) можно ввести только для полной системы «поле частицы», тогда как величины (118.3) уже не образуют 4-вектор (см. задачу 1 выше).

Покажем, что полный импульс системы «поле частицы» сохраняется. Для этого продифференцируем по времени выражение

Отметим, что величины

есть электрический и магнитный токи смещения, а выражение (118.6) имеет вид «уравнения движения» поля с силой Лоренца в правой части.

Выражая производные Е и Н из уравнений Максвелла и производя необходимые преобразования, найдем

Здесь — плотность заряда, — плотность тока. В правой части этого уравнения стоят полные производные, которые при интегрировании по объему для системы ограниченных размеров дадут нуль. В левой же части стоит производная от полной плотности импульса частиц и поля. В результате получаем закон сохранения

где Р — лолный импульс частиц.

Аналогично получается закон сохранения полной энергии частиц и поля

мощность, передаваемая от поля к частицам в единице объема.

Задача 4, В магнитном поле вращается тороидальный пучок релятивистских электронов. Полное число частиц в пучке скорость электронов , радиус тора сечение тора — круг радиуса а. Найти массу пучка.

Энергия заряженного тора

где масса покоя электрона, Воспользовавшись соотношением (115.11), запишем

где — ток пучка, индуктивность тора. Поскольку полный импульс системы равен нулю, инвариантная масса системы «электроны поле»

Отношение первого слагаемого ко второму равно где — критический ток, введенный советским физиком Будкером в связи с исследованием устойчивости тороидального пучка релятивистских электронов. При масса электронного кольца определяется в основном его коллективным полем (см. § 49).

Задача 5, Найти механический момент электромагнитного поля системы из двух точечных зарядов — электрического и магнитного расстояние между которыми (Вильсон, 1949).

Выберем начало координат так, чтобы заряд находился в точке (0, а, 0), а заряд — в точке . Тогда

Момент поля

Вводя сфервтоекую систему координат с полярной осью вдоль вектора а, найдем

Замечательно, что значение не зависит от расстояния между зарядами а. Это позволяет формально применить результат к точечной частице. Полагая, что механический момент поля частицы квантован, т. е. получим что совпадает с результатом Дирака (см. § 116), полученным им с помощью другого метода.