187. Симметричные и самосопряженные операторы.

В дальнейшем мы будем заниматься главным образом так называемыми симметричными и самосопряженными операторами.

Определение. Оператор А называется симметричным, если D (А) плотна в и

для любых и у из .

Из (17) следует, что любое у из принадлежит и для таких т. е.

Симметричный оператор называется полуограниченным снизу, если существует конечное

откуда следует

и число нельзя заменить большим.

Если то оператор А называется положительно определенным, а если то А называется положительным [ср. 126].

Отметим еще, что если линеен плотен вещественно при всех , то А — симметричный оператор, т. е.

при . Это доказывается совершенно так же, как теорема 2 из [124).

Определение. Симметричный оператор А называется самосопряженным, если

Из сказанного выше следует, что для доказательства самосопряженности симметричного оператора А достаточно показать следующее: если некоторый элемент то . В силу (18) симметричный оператор А допускает замыкание и для него имеют место соотношения:

Самосопряженный оператор, очевидно, замкнут.

Отметим еще, что если X — вещественное число, то оператор будет симметричным, если А — симметричен, и самосопряженным, если А — самосопряженный.

Теорема . Если самосопряженный оператор А имеет обратный то область значений оператора А плотна в и есть самосопряженный оператор на

Если линеал не был бы плотен в то существовал бы элемент отличный от нулевого, ортогональный к т. е.

или, что то же, Но это означает, что для элемента, отличного от нулевого, что противоречит существованию обратного оператора . Итак, мы доказали, что линеал плотен в Н.

Из теоремы 5 [185] следует, что или, в силу самосопряженности т. е. действительно самосопряженный оператор.

Теорема 2. Если для симметричного оператора А существует такое число X, что как элементы вида так и элементы вида заполняют все , то А есть самосопряженный на оператор.

Нам надо доказать, что если , то . Мы имеем при , откуда

По условию существует по крайней мере один элемент такой, что и мы можем написать, в силу симметричности ,

Но элементы вида исчерпывают все , и из последнего равенства следует и требовалось доказать.

Следствие. Если для симметричного оператора А, то А — самосопряженный оператор.

Для доказательства достаточно применить теорему 2 при

Мы покажем в [189], что имеет место утверждение, в определенном смысле обратное утверждению теоремы 2.

Именно, если А — самосопряженный оператор и X — невещественное число, то оператор имеет ограниченный обратный, определенный на всем .

Теорема 3. Если у симметричного оператора А существует обратный ограниченный на то

В силу того, что замыкание симметричного оператора приводит к симметричному оператору, и в силу равенства можно считать при доказательстве, что А — замкнутый оператор. Пользуясь теоремой 2 из [184], можем утверждать, что подпространство. Нам надо доказать, что для любого фиксированного и при любом скалярное произведение можно представить в виде Обозначив получим и, поскольку оператор ограничен на выражение у можно рассматривать как линейный (ограниченный) функционал на подпространстве Его можно представить в виде так что мы получаем

Это равенство и означает, что любое у из Н представимо в виде Что и требовалось доказать.

Следствие. Если А — самосопряженный, положительно определенный оператор, то существует, ограничен и определен на всем Н.

В силу положительной определенности А, т. е. в силу

имеем а откуда и следует, что на существует и его норма не превосходит На основании предыдущей теоремы мы можем утверждать, что но так что определен на всем .

Заметим, наконец, что имеют место такие факты: для всякого симметрического расширения А симметричного оператора А справедливо соотношение самосопряженный оператор не допускает симметричных расширений.

Оба утверждения непосредственно следуют из определений симметричного и самосопряженного оператора.

Теорема 4. Если А — замкнутый линейный оператор с плотной в Н областью определения, то произведение есть самосопряженный положительный оператор.

Положительность следует из равенства

Симметричность на видна из равенства

Покажем, что уравнение

(однозначно) разрешимо при любом у из H. Рассмотрим пространство Ну введенное в [186], и его разбиение

Из него следует, что элемент однозначно представим в виде

Следовательно, и поэтому

т. e. уравнение (21) имеет решение при любом . Докажем, теперь, что плотно в Н. Если предположить обратное, то должен существовать элемент z, отличный от нулевого, ортогональный . В силу сказанного выше, его можно представить в виде где , и при любом

и, полагая , получим

т. е. что противоречит предыдущему. Таким образом, плотно в Н и, следовательно, симметричные операторы. В силу того, что оператор самосопряженный (теорема 2). Значит и также самосопряженный оператор.