30. Симметричное ядро.

Комплексное ядро называется симметричным или эрмитовым, если

Из этого определения следует, что вещественно. В случае вещественного ядра равенство (192) сводится к

Интегральный оператор с симметричным ядром удовлетворяет соотношению

или, в раскрытом виде,

которое легко проверяется изменением порядка интегрирования. В частности,

откуда видно, что - число вещественное.

Интегральные операторы с симметричным ядром обычно называются самосопряженными. Для них характерно соотношение (194). В дальнейшем до «о [46] мы рассматриваем интегральные уравнения с симметричным ядром, не оговаривая этого, и для простоты письма считаем . В многомерном случае рассуждения такие же. Сначала установим два свойства рассматриваемых операторов. Пусть - характеристическое значение и соответствующая собственная функция, так что откуда

и, следовательно, всякое характеристическое значение вещественно. Пусть и — два различных характеристических значения, а - соответствующие собственные функции:

Из первого уравнения следует

Используя второе из уравнений (195), получим

откуда

и в силу имеем т. е. собственные функции, соответствующие различным характеристическим значениям, взаимно ортогональны.

Как мы раньше упоминали [4], можно считать, что собственные функции, соответствующие одному и тому же характеристическому значению, ортонормированы.

Принимая во внимание доказанное выше, мы видим, что множество всех собственных функций образуют ортонормированную систему.

Выше мы приводили пример интегрального уравнения с не сим метричным ядром, которое не имеет ни одного характеристического значения. Для симметричных ядер этого не может быть, т. е. имеет место следующая основная теорема.

Теорема 1. Всякое интегральное уравнение с симметричным, ядром имеет характеристические значения (может быть и только одно).

Эту теорему мы докажем позже.

Мы доказали раньше, что характеристические значения (в данном случае вещественные) имеют все конечный ранг, и число их на любом конечном промежутке конечно.

Отсюда следует, что если их бесчисленное множество, то они сгущаются на бесконечности, и их можно расположить в порядке неубывания абсолютных значений, т. е. имеем

и соответствующую ортонормированную систему собственных функций

Очевидно, что и система

ортонормирована. Если ядро вещественно, то и собственные функции (197) можно считать вещественными, и система (198) совпадает с (197).

Система (197) называется обычно системой собственных функций ядра или соответствующего ему интегрального уравнения.

Для собственных функций имеем

откуда видно, что левую часть можно рассматривать как коэффициент Фурье как функции от t, относительно системы (198). Неравенство Бесселя дает

Интегрируя по s, получим

и, переходя к пределу, если число характеристических значений бесконечно,

Всякое характеристическое значение встречается последовательности (196) число раз, равное его рангу. Знак равенства будет иметь место, если или если . При бесконечности последовательности при

Если мы рассмотрим вырожденное симметричное ядро

то, как и в [27], докажем, что оно имеет конечное число характеристических значений. Дальше мы покажем, что если ядро не вырожденное, то интегральное уравнение имеет бесчисленное множество характеристических значений.

Все сказанное имеет место для ядер рассмотренных выше типов: непрерывных и полярных ядер на конечном промежутке и ядер из на конечном или бесконечном промежутке. В первых двух случаях собственные функции непрерывны, а для ядер из они также из L2.