17.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛН В ПЛОСКОМ ВОЛНОВОДЕ

Плоский оптический волновод представляет собой плоский и тонкий (порядка длины волны света) слой, в котором показатель преломления выше, чем в прилегающих слоях настолько, чтобы между волноводным слоем и прилегающими выполнялись условия отсечки. В частном (но наиболее важном) случае таким слоем является поверхностный слой кристалла, в котором за счет определенной обработки повышен показатель преломления. Такой слой с одной стороны граничит с матрицей (подложкой), в которой показатель преломления остался неизменным, а с другой - с внешней средой (воздух). Поскольку показатель преломления воздуха и заведомо меньше, чем показатель преломления подложки то волноводный режим в слое с повышенным показателем преломления наступает при выполнении условия отсечки на границе слой - подложка. Рассматривая распространение оптических волн в плоском волноводе, можно установить его основные характеристики и их связь с параметрами, характеризующими сам волновод. Следуя [5], рассмотрим распространение в оптическом волноводе плоской оптической ТЕ-волны. Напомним, что ТЕ-волной является оптическая волна, для которой электрический вектор параллелен плоскостям отражения. В нашем случае (рис. 17.2) для плоскостей отражения (границ раздела слоев) при распространении волн в плоскости электрический вектор должен бьггь направлен вдоль оси у и имеет компоненты Полагаем: слои не ограничены в размерах в направлениях z и у, так что стоячие волны в этих направлениях не образуются.

Рис. 17.2. Система координат в трехслойном волноводе

Воспользовавшись решением (17.2) уравнения Максвелла (17.1) для плоской волны, распространяющейся вдоль с постоянной распространения в волноводном слое толщиной запишем для амплитуды поля

При выполнении условий отсечки функция в соседних слоях имеет вид

А, В, С, q, h, p - постоянные, которые можно определить из условий непрерывности на границах раздела слоев функций - компонента вектора магнитного поля ТЕ-волны; - магнитная проницаемость). Подстановка (17.9) в (17.8) и (17.1) позволяет определить константы и через показатели преломления число распространения и волновое число

Используя условие непрерывности на границе и

1) приравнивая (17.9, а) и (17.9, 6) при получим т.е.

2) приравнивая производные (17.9, а) и (17.9, 6) по при получим

Используя условие непрерывности на границе и

1) приравнивая получим

2) приравнивая производные (17.9, б) и (17.9, в) по х с подстановкой значений и получим

Разделив правую и левую части этого равенства на получим

Рис. 17.3. Форма мод симметричного (а) и асимметричного (б) волновода

Решение (17.11) дает набор разрешенных значений которым согласно (17.10) соответствует набор значений определяющий набор оптических мод, существующих в волноводе.

Часто нет необходимости знать весь набор значений достаточно выяснить, может ли в волноводе распространяться данная конкретная мода. Этот вопрос легко решить для так называемого «симметричного» волновода. Симметричным называют такой волновод, в котором волноводный слой находится между слоями с одинаковыми показателями преломления. Такие волноводы могут создаваться, например, в многослойных интегральных схемах на основе . В симметричном волноводе , следовательно,

С учетом этого выражение (17.11) превращается в равенство

Из (17.13) следует, что

Подставляя из (17.12) в (17.13), получаем

Выражая к через длину волны из (17.15) получим условие, при котором мода с номером может распространяться в волноводе

Выражение (17.16) показывает, каково должно быть для того, чтобы в слое толщиной могла распространяться мода где - число волн, укладывающихся на длине (рис. 17.3).

Рис. 17.4. Распространение волны с волновым вектором в среде с наибольшим показателем преломления. А и - точки, в которых фаза волны одинакова; точки отражения от поверхности раздела; - расстояние между границами раздела сред

В том случае, если волновод является несимметричным. В частности, асимметричным является волновод, у которого оптически плотный слой создан на поверхности подложки и граничит с воздухом или покрыт слоем металла. В этом случае в и для нахождения условия распространения мод типа (17.13) нужно решать уравнение (17.11) графически или на ЭВМ. В [5] предложено приближенное решение, позволяющее найти соотношение между для асимметричного волновода. Это решение основано на сходстве распределения поля в асимметричном волноводе, имеющем толщину и в симметричном волноводе удвоенной толщины Это сходство видно из сравнения рис. 17.3, а и рис. на котором представлены две ТЕ-моды низшего порядка симметричного и асимметричного волноводов. Видно, что нижняя половина моды симметричного волновода хорошо соответствует моде асимметричного волновода половинной толщины. Учитывая это обстоятельство, можно для нахождения условия отсечки в асимметричном волноводе толщиной воспользоваться выражением (17.16) для симметричного волновода удвоенной толщины

Асимметричный волновод поддерживает только те моды, которые соответствуют нечетным модам симметричного волновода удвоенной толщины. Следовательно, условие отсечки для асимметричного волновода толщиной определяется выражением

Здесь та состоит из нечетных значений т. е.

С учетом этого (17.18) можно переписать в виде

Из сравнения (17.16) и (17.19) видно, что в асимметричном волноводе можно отсечь все моды, а в симметричном волноводе моду

отсечь нельзя равенство (17.16) превращается в

Направления волновых векторов дискретных мод, существующих в данном волноводе, можно найти, рассмотрев изменение фазы волны на пути между точками волновода, оптическая длина пути между которыми равна длине волны - точки А и на рис. 17.4. Волна за период проходит путь На этом пути фаза волны меняется на величину

где - изменение фазы данной моды на пути - изменение фазы волны при отражении от границ раздела 2 - 1 и 2 - 3;

Выражение (17.20) можно переписать в виде

Величины сдвигов фаз при отражении можно найти [6] из равенств

Углы распространения мод колебаний, разрешенных в данном волноводе, можно определить, решая численными методами уравнение

Величина

определяющая скорость распространения волны в направлении переноса электромагнитной энергии в волноводе, получила название эффективный показатель преломления волновода.

Для определения оптических мод, существующих в волноводе, можно использовать ввод излучения в волновод с помощью оптического волокна (в торец) или призмы и призменный вывод (рис. 17.5). Использовав соотношения

Рис. 17.5. Схема определения

откуда и

Эта величина определяет скорость переноса фазы волн в направлении волновода.