Глава 8. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В НЕЛИНЕЙНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СРЕДАХ

8.1. ИНТЕНСИВНОСТЬ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ЛУЧЕЙ

8.1.1. Взаимодействие трех оптических полей

Взаимодействие электрических полей с близкими частотами колебаний удобно рассматривать, используя связь поляризации и электрического поля в виде, заданном выражением (II. 1). В результате взаимодействия электромагнитных полей в нелинейных оптических средах возникает нелинейная поляризация которая, следуя выражению (II.3) может быть задана в виде

Нелинейная поляризация порождает новое электромагнитное поле так что в результате нелинейного взаимодействия в среде будут существовать три взаимно связанных электрических поля. Зададим взаимодействующие электрические поля в виде волн, распространяющихся в направлении

где - частоты;

- волновые векторы;

- комплексные амплитуды трех взаимодействующих волн.

Подставляя (8.2) в (8.1) с учетом того, что тензор диэлектрической проницаемости симметричен, получим для нелинейной поляризации

Амплитуды взаимодействующих полей можно получить, решая уравнения Максвелла с учетом нелинейной поляризации. Для немагнитной и непроводящей среды уравнение Максвелла имеет вид

где индукция определяется электрическим полем и нелинейной составляющей поляризации с помощью материального уравнения

в котором линейная составляющая поляризации включена в описывает нелинейную часть поляризации. Подставляя (8.5) в (8.4), получим

Рассмотрим решение (8.6) так, как это сделано в [1]. Запишем производные от напряженности поля и поляризации, требуемые для подстановки в (8.6). Вторые производные напряженности поля по времени

и аналогичные выражения для

Для вторых производных поляризации по времени, используя (8.3), получим

Дважды дифференцируя (8.2) по z и полагая, что амплитуда поля настолько слабо зависит от z, что можно пренебречь вторыми производными амплитуды по полю, получим

Подставив (8.7), (8.8) и (8.9) в (8.6), учитывая, что и полагая, что (8.6) удовлетворяется для каждой частной компоненты отдельно, получим систему уравнений для трех связанных волн

Общее решение этой системы уравнений не выражается в элементарных функциях. Однако для некоторых важных частных случаев такое решение может быть получено. Если поле возникает в результате взаимодействия мощных полей так, что передача энергии от полей мала и амплитуды полей слабо меняются в зависимости от координаты, то можно считать Тогда в системе (8.10) остается одно уравнение для Обозначив

из (8.10) получим для

Интегрируя (8.12), получаем

Заменив и используя соотношения запишем (8.13) в виде

Плотность потока мощности или интенсивность излучения выражается через амплитуды электрического поля

Следовательно,

Вычислим отдельно произведение выражений, стоящих в скобках

Подстановкой (8.17) в (8.16) получаем

В том случае, если т.е. для Геннадии второй гармоники начального излучения (излучения накачки) из (8.18), получаем

Коэффициент x связывает комплексные амплитуды нелинейной поляризации и электрического поля. Часто используется другой коэффициент связывающий действительные амплитуды электрического поля и нелинейной поляризации Р. Рассмотрим соотношение X и используя выражения, описывающие удвоение частоты. Действительная амплитуда поляризации удвоенной частоты, определяемая действительной амплитудой поля записывается как

Здесь и - комплексно сопряженные амплитуды поляризации удвоенной частоты, равные

В то же время, определяя с помощью комплексных амплитуд поля, получаем

Используя для определения поля действительную амплитуду, запишем

Отсюда следует, что комплексная и действительная амплитуды поля связаны как

Подставляя (8.24) в (8.22), получим

Сравнивая (8.21) и (8.25), видим, что

Используя (8.26) и обозначив запишем (8.18) и