8. Основные правила дифференцирования
Установим правила, по которым можно было бы находить производные суммы, произведения и частного функций, зная производные слагаемых, сомножителей, делимого и делителя.
Эти правила мы сформулируем в следующих теоремах.
Теорема I. Если функции 
дифференцируемы в данной точке 
, то в той же точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых:
Доказательство. Рассмотрим функцию 
. Приращению 
аргумента 
соответствуют приращения
функций и и и. Тогда функция у получит приращение
Следовательно,
Так как по предложению функции и и v дифференцируемы, то
и, следовательно, 
.
Итак,
Замечание. Формула (23) легко обобщается на случай любого конечного числа слагаемых:
Пример 1. Найти производную функции 
Решение. Применяя вначале формулу (24), а затем формулы (16), (21) и (20), получим
Теорема 2. Если функции и 
дифференцируемы в данной точке 
, то в той же точке дифференцируемо и их произведение. При этом производная произведения находится по следующей формуле:
Доказательство. Пусть 
Если 
получит приращение 
то функции и, v и у будут иметь соответственно некоторые приращения 
причем
Следовательно,
Так как при фиксированном 
постоянны, то их можно вынести за знак предела. Поэтому
Кроме того,
так как функция v по условию дифференцируема, а следовательно, и непрерывна, и поэтому 
Таким образом,
Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
Действительно, если 
(с — постоянная), то по формуле (25)
В частности, можно выносить за знак производной множитель, равный —1, что равносильно вынесению за знак производной знака 
На этом основании можно получить формулу для производной разности двух функций:
Пример 2. Найти производную функции 
.
Решение. По формулам (25), (18) и (22) получим
Пример 3. Найти производную многочлена 
Решение. Применяя последовательно формулы (24), (26), (16) и (15), получим
Замечание. Формулу (25) можно обобщить на случай любого конечного числа 
сомножителей. Если, например, 
, то
В самом деле,
Теорема 3. Если в данной точке 
функции 
дифференцируемы и 
, то в той 
точке дифференцируемо и их частное 
причем
Доказательство. Пусть 
— приращение аргумента 
а 
— соответствующие приращения функций 
. Тогда функция 
будет иметь приращение
Следовательно,
или
Мы считали, что 
вследствие предположения о дифференцируемости, а следовательно, и непрерывности функции у.
Пример 4. Найти производную функции 
.
Решение. Представив данную функцию в виде частного
получим по формуле (29):
Таким образом,
При этом условие 
выполняется для любого 
принадлежащего области определения функции 
Аналогично выводится формула для производной функции 
:
Рекомендуем читателю вывести ее самостоятельно.
