19. Делимость многочленов и делимость чисел.
Установив, что некоторое утверждение о свойстве чисел оказывается верным в ряде частных случаев, т. е. для ряда определенных чисел, мы отнюдь не можем быть уверены, что это утверждение окажется верным всегда: заключать о 
частного к общему можно лишь в виде предположения, догадки, которая в дальнейшем должна быть либо доказана, либо опровергнута. Но если такое доказательство проведено, то мы можем смело применять наше общее утверждение в каждом отдельном случае: заключение от общего к частному вполне законно. Так, уменьшая на единицу квадраты простых (первоначальных) чисел, больших 3, а именно чисел 5, 7, 11, 13, 17 и т. д., мы получим числа 24, 48, 120, 168, 288 и т. д., кратные 24. Естественно сделать догадку: не будут ли кратными 24 все числа вида 
где 
простое число? Представив 
в виде 
замечаем, что числа 
оба четные, причем одно из них даже четно-четное, т. е. делится не только на 2, но и на 4, а потому 
кратно 8. С другой стороны, из трех последовательных целых чисел 
одно непременно
кратно 3, а так как 
будучи числом простым, большим 3, не может быть кратным 3, то кратным 3 оказывается одно из чисел 
или 
а следовательно, и их произведение. Итак, каково бы ни было простое число 
всегда 
кратно 
Доказав это утверждение в общем виде, мы можем быть уверены, что оно окажется справедливым и в каждом частном случае, т. е. для всякого числа, удовлетворяющего поставленным условиям.
Положим, однако, что некоторое утверждение, доказанное в общем виде, оказывается неверным в каком-либо частном случае. Ясно, что здесь непременно имеет место какая-нибудь путаница или просто ошибка: либо общее утверждение, которое мы считали доказанным, на самом деле неверно, т. е. ошибка была допущена в доказательстве, либо неправильно само указание на то, что в данном случае наше общее утверждение не оправдывается.
Любопытный пример такого рода путаницы мы имеем в следующем рассуждении.
Возьмем двучлен 
, где 
произвольное натуральное (т. е. целое положительное) число; 
а произвольные, неравные друг другу, действительные числа, причем 
Полагая 
и, имеем: а 
Замечая, что 
делится на а, а 
делится на у — 1 (разность степеней всегда делится на разность оснований), заключаем, что
Таково общее доказанное нами утверждение. Применим его к частному случаю, когда 
Имеем: 
и, следовательно, 19 делится на 
В чем тут дело?
