51. Длина полуокружности равна ее диаметру.

Возьмем полуокружность радиуса вместе с ограничивающим ее диаметром и разделим последний на равных частей. На каждом полученном отрезке диаметра построим новые маленькие полуокружности, располагая их поочередно по одну и по другую стороны диаметра. Получаем

Черт. 22

зигзагообразную кривую, вьющуюся около диаметра (черт. 22). При неограниченном увеличении числа эта кривая линия делается все менее и менее отличной от прямой и в пределе, при с ней совпадает. Обозначив длину этой кривой линии из равных полуокружностей буквой имеем в силу этого:

По длина каждой маленькой полуокружности, построеннои на диаметре и с радиусом равна потому Таким образом, полная длина нашей кривой линии равна всегда длине первоначальной взятой полуокружности; этой же длине равен и предел длины этой кривой линии:

Сопоставление равенств (1) и (2) приводит к выводу, что Следовательно, длина произвольной полуокружности равна длине своего диаметра, и число , выражающее отношение длины всякой окружности к своему диаметру, равно 2.