II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ.

43. В рассуждении допущена ошибка: почленное деление равенства (2) на разность недопустимо, так как эта разность в силу равенств (1) равна нулю; нулю же равны и обе части равенства (2).

44. В анализируемом рассуждении, содержащем значительное число вполне правильных соображений, допущена ошибка при переходе от правильного равенства (4) к неправильному равенству (5). В самом деле, разность на которую мы разделили обе части равенства (4), равна нулю. Это ясно из пропорции имеющей место для сторон подобных треугольников и

45. Ошибка допущена при переходе от правильного равенства (5) к неправильному равенству (6). В самом деле, разность

на которую мы разделили обе части равенства (5), равна нулю. Это ясно из анализа уменьшаемого и вычитаемого, каждое из которых равно произведению так как

Выявление типичной ошибки (распространение на случай исключения) в этом несколько громоздком в отношении записи софизме требует проявления известной самостоятельности мысли ученика.

46. Нелепость вывода очевидна, но самый внимательный просмотр всего рассуждения нигде ошибки не обнаруживает. Приходится заподозрить правильность указания на свойство ряда равных отношений. Вспомним, как это свойство доказывается.

Пусть Здесь совершенно произвольные числа, причем Числа определяются равенствами Сложив эти два равенства почленно, получим новое равенство:

Если это последнее равенство можно преобразовать к виду и мы приходим к свойству ряда равных отношений:

Как видим, свойство это доказано при двух существенных оговорках: ни одно из чисел не равно нулю, и, кроме того, сумма также не равна нулю. Если сумма равна нулю, то, в силу равенства и сумма равна нулю, и последнее отношение имеет вид Число же выражает, как известно, какое угодно число.

Итак, применяя свойство ряда равных отношений, мы всегда должны убедиться, что сумма последующих членов не равна нулю. Если же она равна нулю, применять свойство ряда равных отношений нельзя.

Не получилась ли нелепость в приведенном выше рассуждении о сторонах трапеции в силу того, что применение свойства ряда равных отношений было здесь незаконным? Не равна ли нулю та сумма последующих членов

которую мы там имели, т. е. не равны ли два отрезка их? Чертеж как будто подтверждает это подозрение. Следующий простой расчет показывает, что это действительно так.

Две пропорции, полученные выше из подобия треугольников, после освобождения от знаменателей получают такой вид:

Решая эти два уравнения относительно получаем, предполагая

Значит, отрезки действительно равны.

Случай надо рассмотреть особо. В этом случае пропорции дают откуда Итак, и в этом случае отрезки равны.

Причина получения нелепого вывода вполне выяснена: получив пропорцию а и отношение мы отнюдь не можем считать, что последнее отношение равно —1, так как оно в силу равенства равно не , а чему угодно.

47. Ошибка допущена при переходе от равенства (1) к неравенству (2). Дело в том, что оба члена первого отношения равенства (1) отрицательны, а потому нужна особая осторожность при сравнении их величины: имея пропорцию мы не можем утверждать, что

48. Ответ неверен, так как площади подобных фигур (прямоугольник на плане и прямоугольник в натуре подобны) не пропорциональны сторонам, а пропорциональны квадратам сторон. Стороны прямоугольника больше соответствующих сторон прямоугольника в раз, площадь же больше не в раз, а в раз, а потому площадь

11. Это утверждение было бы правильным, если бы объем

V цилиндра был пропорционален и высоте и поперечнику основания Но формула показывает, что объем цилиндра пропорционален не поперечнику основания, а его квадрату. Отсюда заключаем, что вторая банка имеет объем вдвое больший, чем первая, а третья — вдвое меньший, чем первая. Это подтверждают и формулы; для первой банки

для второй банки для третьей банки Модель сооружения и само сооружение являются телами, геометрически подобными, а объемы подобных тел, как известно из геометрии, пропорциональны кубам их линейных размеров, веса же пропорциональны объемам (если тела сделаны из одинакового материала). Поэтому увеличение размеров модели до размеров самого сооружения, а именно увеличение в 20 раз, вызовет увеличение объема и веса в раз, и само сооружение будет весить Простое рассмотрение нескольких фигур, хотя бы простейшей прямоугольной формы, сразу показывает, что между площадями и периметрами определенной зависимости нет. Так, прямоугольник со сторонами имеет периметр площадь а прямоугольник со сторонами имея такой же периметр, имеет площадь значительно меньшую (только прямоугольник же со сторонами имеет периметр а площадь уже Судить о площадях двух фигур по их периметрам можно лишь в том случае, если фигуры эти геометрически подобны. Тогда площади их пропорциональны квадратам их периметров. Два геометрически подобных участка, имея периметры в имеют площади, отношение которых а потому площадь первого участка больше площади второго на 44% площади последнего. Если же участки с периметрами не подобны, то об их площадях ничего сказать нельзя.

49. Мы предположили, что большее колесо катится по прямой без скольжения. Это означает, что при каждом полном обороте колеса центр его проходит путь, равный длине его окружности. Конечно, мы в праве считать, что меньшее колесо, насаженное на общую ось с большим и наглухо с ним скрепленное, катится по прямой Но будет ли это меньшее колесо катиться тоже без скольжения? Конечно, нет, так как при одном полном его обороте его центр проходит путь не равный длине его окружности 2-г, а больший этой длины Следовательно, меньшее колесо не только катится по прямой но и скользит по ней.

Что же касается математической сущности этого рассуждения, то она состоит в возможности установления взаимно однозначного соответствия между множеством точек любых двух концентрических окружностей, наглядно осуществляемою

проведением радиусов из их общего центра. Разумеется, что установлением подобного соответствия утверждается не равенство длин, а только равномощность двух точечных множеств. Таким образом, мы здесь сталкиваемся с характерическим свойством бесконечных множеств, позволяющим отобразить целое на его правильной части.

Анализируемое рассуждение — знаменитое так называемое «аристотелево колесо». Эта проблема, которую Аристотель причислял к наиболее изумительным в области механики, изложена им в качестве 25-й главы «Проблем механики».

Разъяснение этого рассуждения Аристотелем не было достаточно четким. Не удовлетворяясь им, Галилей (1564— 1642) в «Беседах по механике» предложил свое приближенное решение проблемы, основанное на сравнении катящегося круга с последовательно прилегающим к прямой правильным многоугольником с большим числом сторон. Наконец, вскрытие математической сущности «аристотелева колеса» достигается использованием канторовского Кантор, 1845—1918) определения эквивалентных множеств.

50. Найти ошибку, которая привела нас к этому нелепому выводу, совсем легко, если вспомнить точное определение предела: число а является пределом переменной величины х, ссли абсолютная величина разности а в процессе изменения переменной величины х стремится к нулю, т. е. с некоторого момента становится и в дальнейшем остается меньше любого наперед заданного числа. В нашем рассуждении мы имеем дело с переменной величиной выражающей сумму всех звеньев ломаной и принимающей значения и т. д. Все эти значения равны между собой, так как всегда Следовательно, величина является лишь кажущейся переменной, по существу же эта величина постоянная. Но это ничуть не мешает поставить вопрос о пределе при . Ясно, что пределом для не может быть никакое другое число, кроме того, которое выражает сумму длин обоих катетов если а отлично от то абсолютное значение разности а, будучи постоянной и неравной нулю величиной, отнюдь не стремится к нулю. Следовательно, написанное выше равенство (1) неправильно и должно быть заменено другим, а именно пред. т. е. равенством (2). Нелепый вывод, как видим, отпадает.

Настоящий софизм очень поучителен. Он показывает, как внимательно и критически надо относиться к тому, что нам дает наглядное представление. Ступенчатая ломаная, из одинаковых ступенек, которую мы видим на чертеже 21, при неограниченном увеличении числа все менее и менее отличается от гипотенузы При достаточно больших значениях наш глаз не в состоянии будет отличить эту ломаную от прямой: представьте себе, например, что мы взяли равным Эта ломаная линия связана с целым рядом переменных величин: можно говорить о длине ломаной, о площади фигуры, ограниченной катетами и этой ломаной, о сумме площадей всех треугольников, расположенных между гипотенузой и ломаной, о сумме периметров всех эти треугольников, о сумме их внутренних углов и т. д. К какому пределу стремится каждая из этих переменных величин и стремится ли она вообще к какому-нибудь пределу — эти вопросы надо решать, основываясь не на зрительном образе, а на точном определении понятия предела. Зрительный образ помогает, да и то не всегда, сделать правильную догадку, вопрос же решает рассуждение.

Любопытно отметить, что при решении вопроса о пределе площади фигуры, ограниченной катетами и ступенчатой ломаной, наглядное представление приводит к совершенно правильному заключению о том, что этим пределом является площадь треугольника Действительно, полагая находим, что площадь каждого треугольника, образованного двумя соседними звеньями ломаной и гипотенузой, равна сумма площадей всех таких треугольников равна Для площади всей фигуры получаем формулу и убеждаемся, что предел есть так как предел равен 0, при

51. Равенство (2) правильно, равенство (1) ошибочно. Здесь допущена та же ошибка, что и в

52. Конечно, верна формула а не полученная нами формула При выводе последней мы приняли без доказательства, что пред. а это неверно.

Замечая, что убеждаемся, что пределом для служит не боковая поверхность конуса, а сумма

площади основания конуса и боковой поверхности цилиндра с радиусом основания и высотой

53. Чертеж, изображающий прямые и раздельно, ошибочен: эти прямые совпадают. В противном случае сумма углов, лежащих по одну сторону от прямой линии, превосходила бы 180°. В самом деле, 180°. Этим самым методом приведения к противоречию устанавливается равенство угла нулю, т. е. совпадение прямых и

Итак, этот софизм основан на ошибке построения: совпадающие точки рассматриваются как различные.

54. Этот софизм построен на ошибке чертежа: совпадающие точки рассматриваются как различные.

Прямая должна удовлетворять двум требованиям:

1) она перпендикулярна (так как по построению перпендикулярна т. е. образует с этой линией прямой угол, стороны которого проходят через концы диаметра является стороной вписанного угла, опирающегося на диаметр

Из сказанного делаем вывод, что вершина вписанного угла должна находиться и на прямой и на полуокружности, т. е. в точке их пересечения

55. Два сделанных предположения о положении точки В относительно окружности не исчерпывают всех возможностей: эта точка В может находиться не вне и не внутри, а на окружности.

Тогда две точки пересечения окружности со сторонами угла сливаются в одну, совпадающую с Б, и вместо двух диаметров и мы получим один, а именно Противоречие, к какому приводят предположения о том, что точка В находится вне или внутри окружности, доказывает, что единственно правильным является третье предположение, при котором неправильный вывод отпадает.

56. В получившемся противоречии опять виноват чертеж. Обозначив вторую точку пересечения окружностей 1 и II буквой и соединив с точками легко убеждаемся, что а потому отрезки и лежат на одной прямой Следовательно, эта прямая пересекается окружностями I и II не в двух различных точках а в одной точке и существует один только перпендикуляр опущенный из точки В на прямую

57. Конечно, приведенное рассуждение показывает лишь то, что точка лежит на прямой совпадая с точкой Е:

окружности, построенные на сторонах и треугольника как на диаметрах, пересекаются в точке Е, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из вершины А на сторону

58. Аккуратное выполнение чертежа сразу укажет, в чем причина противоречия, но установить ее можно и без нового чертежа следующим рассуждением.

Опишем около окружность. Ось симметрии будучи перпендикуляром к хорде проведенным через середину этой хорды, пройдет через середину дуги которая стягивается этой хордой. Но биссектриса угла В тоже должна пройти через середину этой дуги: иначе вписанные углы и , измеряемые половинами соответствующих дуг, не были бы равны друг другу. Следовательно, эта середина дуги являясь общей точкой биссектрисы и медианы, есть не что иное, как их точка пересечения Е. Итак, точка Е находится непременно вне треугольника — предположения первое и третье отпадают, остается предположение второе, которому соответствует чертеж 296.

Четырехугольник оказывается таким образом вписанным в окружность. Но у всякого вписанного в окружность четырехугольника сумма каждых двух противолежащих углов равна, как известно, а потому об углах и можно сделать два предположения: либо оба прямые, либо один из них острый, другой тупой. Если имеет место первое, то перпендикуляры и опущенные на стороны и совпадают со сторонами и и прямоугольные треугольники и равны, как имеющие общую гипотенузу и равные катеты Следовательно, что противоречит условию Таким образом, предположение, что отпадает, и из этих двух углов один острый, другой тупой. Отсюда заключаем, что расположение треугольников и показанное на чертеже 296, не соответствует действительности: обе точки не могут быть вне треугольника так как тогда оба угла и были бы тупые. Правильным будет лишь расположение, показанное на чертеже 33, где одна из точек находится внутри треугольника другая же вне его. Но тогда из равенств и отнюдь не вытекает, что так как и никакого противоречия с условием не получается.

59. В «доказательстве» рассмотрены не все возможные предположения. В самом деле, мы ограничились

предполо жением, что биссектриса угла В и ось симметрии отрезка (т. е. прямая, перпендикулярная к в середине этого отрезка) пересекаются внутри треугольника Между тем необходимо было рассмотреть и все другие возможные предположения: 1) точка пересечения лежит на отрезке С А, 2) точка пересечения находится вне треугольника

Черт. 33.

На основе анализа всех случаев следовало выяснить, какие из них возможны.

Докажем, что единственно возможным является случай третий: в любом прямоугольном треугольнике биссектриса угла В пересекается с осью симметрии катета вне этого треугольника.

Опишем около окружность (черт 34). Ее центр, находящийся на середине отрезка обозначим буквой Легко видеть, что радиус перпендикулярный к хорде разделит пополам и эту хорду, и стягиваемую ею дугу. Таким образом, точка О есть середина дуги С А.

Черт. 34.

Проведем теперь биссектрису угла В. Так как точка В лежит на окружности, а биссектриса делит угол В пополам, то и биссектриса угла В проходит через точку О.

Следовательно, пересечение биссектрисы угла В с осыо симметрии катета в любом прямоугольном треугольнике происходит вне этого треугольника.

Сказанным устраняются возможности для абсурдного вывода.

60. В «доказательстве» рассмотрены не все возможные предположения. В самом деле, кроме рассмотренного, можно указать следующие: 1) точка О находится внутри четырехугольника ABCD; 2) точка О лежит на т. е. является серединой этого отрезка.

Однако и в этих случаях легко получить тот же самый абсурдный вывод: прямой угол равен тупому.

Для выяснения недоразумения надо заметить, что рассмотренный нами в тексте софизма случай необходимо в свою очередь подразделить на два, а именно: тупой угол и треугольник лежат 1) по одну сторону от прямой (черт. 31), 2) по разные стороны от прямой (черт. 35).

Черт. 35.

Допущение первого предположения приводит к абсурдному выводу, в чем мы уже убедились.

Допущение второго предположения не приводит к нелепости: прямой угол как и раньше, представляется разностью двух углов и а тупой угол дополняет до 360° сумму двух таких же углов и Рассуждая методом приведения к противоречию, устанавливаем, что только второе предположение случая третьего является единственно возможным.

61. Трапеция с основаниями см и см и высотой см имеет при вершинах прямые углы. Прикладывая к ней треугольник с прямым углом при вершине и катетами мы получим новую фигуру, ограниченную снизу прямолинейным отрезком так как два прямых угла и дают в сумме развернутый угол. Но будут ли лежать на одной прямой линии стороны

и Хотя на глаз Кажется, что это так, но уже тщательно выполненный чертеж ясно показывает, что в действительности линия ломаная, а не прямая. Всякое сомнение в этом вопросе устраняется, если мы заметим, что в случае прямолинейности у нас получается пара подобных треугольников и у которых отношение вертикальных катетов и лежащих против общего утла Е, равно а отношение горизонтальных катетов и равно Таким образом, фигура, полученная после перекладывания, не прямоугольник. Она превращается в прямоугольник лишь после добавления к ней длинного и узкого параллелограмма, хорошо видного на чертеже 36 и имеющего площадь как раз в

Черт. 36.

Игак, в настоящем недоразумении виноват наш глаз, не замечающий небольшой разницы в направлениях отрезков и

Полученный нами вывод из рассмотрения частного случая допускает обобщение.

Рассмотрим 3 чертежа, изображающие фигуры, составленные из одних и тех же кусков, а именно: двух равных трапеций и двух равных треугольников (черт 37а, 37б, 37в).

Обозначив площадь каждой фигуры буквой с соответствующим индексом, запишем следующие очевидные равенства:

Установим условие, при котором будет справедливо равенство:

Для этого найдем разности:

Итак, соотношение (1) будет иметь место при выполнении равенства Решим это уравнение относительно х:

Произведя выбор знака, определим отношение х к у:

Соотношение (3) указывает, что х и у — несоизмеримые отрезки, т. е. их отношение не может быть выражено рациональным числом. Отсюда приходим к мысли, что если взять числа х и у рациональными, в частности целыми положительными, но такими, чтобы их отношение подходило к величине дроби с определенной стененыо точности, то при перекладывании частей фигуры восприятие различия в направлении отрезков, используемых для составления прямой, останется вне поля нашего зрения.

Черт. 37а.

Черт. 376

Черт. 37в.

Прежде всего обратим внимание на свойство функции выражающееся в том, что В самом деле,

Установленная закономерность позволяет указать такие последовательные целочисленные значения аргумента, которые не меняют абсолютной величины значения функции.

Таблица содержит последовательные пары целых неотрицательных значений х и у, для которых абсолютные величины разностей и равны единице.

Закон составления довольно простой:

Для достижения должной иллюзии при перекладывании фигур следует брать значения таблицы, начиная с шестой строки. Беря за х и у соответственно 5 и 3, получаем приближение к иррациональной дроби , разнящееся в сотых долях единицы, беря 21 и 13 — в тысячных и далее со все возрастающей степенью точности.

62. Если взять неравносторонний треугольник и перевернуть его другой стороной, то он после совмещения точки А с С, а точки займет положение треугольника не совпадающего с треугольником Но нельзя ли разрезать треугольник на такие части, чтобы

каждая часть в отдельности переворачивание допускала? Ясно, что всякий равнобедренный треугольник допускает переворачивание, а потому перед нами задача: разрезать данный неравносторонний треугольник так, чтобы каждая часть представляла собой равнобедренный треугольник. Чертеж показывает, как это сделать. Сначала проводим затем из вершины прямого угла каждого из полученных прямоугольных треугольников проводим медианы и (точка Е есть середина отрезка точка середина отрезка

Черт. 38а.

Черт. 38б

Легко доказать, что медиана всякого прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Поэтому все четыре треугольника полученные на чертеже равнобедренные Разрезав приготовленную заплату на четыре таких части, а затем перевернув каждую из них в отдельности, мастер получит возможность исправить свою ошибку (конечно, ему придется не только вшивать всю заплату на место, но и предварительно сшить между собой треугольники первый, второй, третий и четвертый). Чтобы лучше уяснить себе все дело, рекомендуется вырезать чертеж из бумаги, одна сторона которой закрашена.

Отметим, что равнобедренный треугольник — далеко не единственная фигура, допускающая переворачивание. Переворачивание допускает всякая фигура, имеющая хотя бы одну ось симметрии. К таким фигурам принадлежит и всякий прямоугольник оси симметрии), и квадрат (4 оси симметрии), и ромб оси симметрии), и всякий правильный -угольник осей симметрии), и окружность (осью симметрии

служит любой диаметр), и еще бесконечное множество более сложных фигур.

Воспользовавшись сказанным в предыдущем абзаце, можно упростить решение задачи о заплате. В самом деле, четырехугольник как имеющий ось симметрии допускает переворачивание. Следовательно, для исправления ошибки мастера достаточно сделать не три, а два разреза, выполняя их по направлениям и Это, разумеется, целесообразнее, так как придстся сшивать не четыре, а три куска.