Найдем боковую поверхность тела. Она состоит из суммы боковых поверхностей всех цилиндров и суммы площадей колец, остающихся на верхнем основании каждого цилиндра за вычетом площади, занятой нижним основанием ближайшего выше расположенного цилиндра; у самого верхнего цилиндра верхнее основание надо взять целиком.
Черт. 23
Установив из подобия треугольников, что радиус основания нижнего цилиндра равен 
второго снизу 
третьего снизу 
и так далее — до самого верхнего, у которого радиус основания равен 
легко находим, что сумма боковых поверхностей всех цилиндров равна:
или
или
Что касается площадей колец, то их сумма равна площади основания нижнего (самого большого) цилиндра, т. е. 
Для боковой поверхности ступенчатого тела получаем формулу:
или, после упрощений:
Замечая, что при неограниченном увеличении числа 
ступенчатое тело будет приближаться к конусу, как к пределу, находим для боковой поверхности Р конуса формулу, указанную в заголовке:
Но эта формула существенно отличается от той, которая выводится в любом курсе геометрии 
где 
образующая конуса), так как сумма отрезков 
являющихся катетами прямоугольного треугольника, всегда больше его гипотенузы 
и высотой 
и проведем в нем сечения плоскостями, перпендикулярными к оси конуса и отстоящими одна от другой на расстоянии 
где 
некоторое натуральное число. Каждое из полученных 
круговых сечений примем за верхнее основание цилиндра, имеющего высотой отрезок 
. Получим всего 
цилиидров, образующих в своей совокупности ступенчатое тело, вписанное в данный конус. Разрез конуса и этого ступенчатого тела по оси конуса представлен на чертеже 23.
