II. АНАЛИЗ ПРИМЕРОВ

69. Ошибка допущена при переходе от верного равенства (2) к неверному равенству (3). Ложность равенства (3) объясняется тем, что оно получено в результате деления обеих частей равенства (2) на разность которая равна нулю.

70. В результате почленного умножения двух неравенств одинакового смысла, все части которых положительны, получается новое неравенство того же смысла. Умножение же неравенств, не удовлетворяющих этому требованию, может давать что угодно: и неравенство другого смысла, и даже равенство.

В неравенствах (1) левые и правые части равны по абсолютной величине, но различны по знакам:

Почленное их перемножение приводит к двум равным по абсолютной величине произведениям, имеющим знак плюс, а потому равным друг другу. Неравенство (2) в силу этого неправильно и должно быть заменено равенством:

которое приводит к общеизвестной формуле:

71. При переходе от равенства (1) к неравенству (2) мы умножили на 2 левую часть равенства (1).

Но действительно ли это умножение на 2 есть увеличение? Всегда ли Перенося в этом последнем неравенстве число а из правой части в левую, убеждаемся, что из неравенства вытекает неравенство Следователь не, если а не больше нуля, а меньше нуля или равно нулю, то неравенство не может иметь места.

Итак, переход от равенства к неравенству возможен исключительно при Но косинус острого угла всегда заключен между нулем и единицей, десятичный логарифм этого косинуса отрицателен, а потому из равенства а не вытекает неравенство

72. Ошибка допущена при переходе от равенства (2) к неравенству (3). Здесь упускается из внимания, что так как правильной дроби, то отрицателен, а потому в соотношении (3) должен быть поставлен не знак больше, а, наоборот, знак меньше: удвоенное отрицательное число меньше этого отрицательного числа.

73. Ошибка основана на забвении определения арифметического корня. В соответствии с этим определянием а он равен т. е. если если

В анализируемом примере: если если х не принадлежит множеству значений, указанному двойным неравенством. В частности, при значении х равном левая часть соотношения (3) должна быть взята в виде: Абсурдный вывод, естественно, устраняется.

74. Ошибка настоящего рассуждения заключается, конечно, в неправильном вычислении высоты прямоугольника. Приписывая отрезку определенный знак или мы тем самым указываем, в каком направлении этот отрезок откладывается, или, что то же, в каком направлении мы этот отрезок проходим. Для линии синуса знак плюс указывает, что она откладывается вверх от горизонтального диаметра, минус - вниз. Рассматривая такие направленные отрезки и обозначая каждый отрезок двумя буквами, всегда предполагают, что первая буква означает начало отрезка, вторая —

его конец. Поэтому два направленных отрезка не тождественны: имея одинаковую длину, они имеют противоположные направления, и в силу этого .

На чертеже 43 отрезок откладывается вверх, а потому отрезок же вниз, и следовательно, а. Чтобы получить высоту прямоугольника со знаком плюс, мы должны двигаться от точки к точке М в одном и том же направлении, а именио вверх. Поэтому формула (1) неверна, правильной же является формула или, что то же Замечая, что , имеем:

как и должно быть.

Разъяснить настоящий софизм можно было бы гораздо короче, просто указав, что при вычислении площади прямоугольника мы должны брать лишь длины его основания и высоты, не принимая во внимание их знаков. Однако, во-первых, нередко и площадям приписывают определенные знаки во-вторых, важно выяснить, как, зная направленные отрезки, ведущие от некоторой данной точки к концам некоторого интересующего нас отрезка, получить длину этого отрезка (в пашей задаче вопрос заключался именно в этом: надо было пайти длину отрезка зная направленные отрезки, ведущие от точки Р к точкам

75. На основе анализа трех признаков равенства треугольников методом неполной индукции сделан ложный вывод: «Итак, для утверждения равенства двух треугольников требуется знать (т. е. достаточно знать!) о равенстве трех элементов их, среди которых представлен по крайней мере один линейный».

На самом же деле, равенство трех основных элементов одного треугольника трем основным элементам другого треугольника, включая по крайней мере и один линейный элемент, является необходимым, но недостаточным условием для равенства рассматриваемых фигур. Взглянув на чертеж 45, мы легко убеждаемся в недостаточности этого условия.

Приняв ложное утверждение за истинное и применив его к анализу примера, в котором речь идет о подобных треугольниках со сторонами 18, 12, 8 и 27, 18, 12, мы пришли к утверждению нелепости: существуют равные треугольники, у которых не все стороны равны.

Этот софизм мы уже рассматривали в геометрии Там же было дано подробное раскрытие его.

Черт. 45.

76. Ошибка сделана при переходе от соотношения (5) к соотношению (6). Она состоит в неправильном применении принципа непосредственных умозаключений путем обращения. Тот факт, что равные углы имеют равные синусы, не дает еще основания заключать о справедливости обратного утверждения. Здесь можно утверждать только следующее: «Если синусы двух углов равны, то и утлы могут быть равны».

Относительно углов возможно сделать три предположения:

1) . В этом частном случае мы действительно будем иметь прямоугольный треугольник. Но этот случай, как видно из дальнейшего, не исчерпывает всех возможных случаев.

2) . В этом случае что не противоречит смыслу задачи и связывает углы треугольника известным соотношением. Однако этот случай не дает никаких оснований для абсурдного вывода о наличии прямого угла в любом треугольнике.

3) . Этот случай невозможен, так как разность суммы двух любых углов треугольника и его третьего угла не может быть равна 360°.

Как видим, абсурдный вывод устраняется.