6. Ошибки построения.

Мы уже рассматривали вопрос об ошибках, могущих возникнуть при пользовании верным чертежом. Здесь мы проанализируем основные типы заблуждений, возникающих в силу той или иной ошибки чертежа.

Взгляд некоторых математиков на сведение на нет роли чертежа в геометрии не мог найти сколько-нибудь значительного числа последователей. И это вполне закономерно, так как вся многовековая история геометрии убедительно свидетельствует об исключительно большом значении чертежа в выявлении новых геометрических положений и изыскании способов их доказательства. Однако проблема взаимоотношения логики и иитуиции в процессе творчества и преподавания и в связи с этим проблема правильного использования наглядных изображений остается до сих пор в числе актуальных вопросов методологии и методики математики.

Во всяком случае учащимися должно быть хорошо осознано, что геометрическое наглядное представление еще не гарантирует истину или по крайней мере логическую строгость; что нельзя судить об условиях теоремы по тому впечатлению, которое производит чертеж. Одновременно с этим учащиеся должны проникнуться сознанием, что верный чертеж, как правило, помогает сделать правильную догадку, оказывая неоценимую услугу познанию; неправильный же чертеж, наоборот, способствует порождению различных

ошибок. Исключительной педагогической сложностью и важностью этой проблемы объясняется то особое внимание, которым она пользуется в нашей методико-математической прессе последних лет (работы проф. И. Ф. Четверухина, проф. Д. Л. Франка, доц. Г. А. Владимирского и др.).

При изложении геометрических доказательств, связанных с точками пересечения различных линий, в учебниках обычно ведутся рассуждения на основании готового чертежа, в котором точки пересечения взяты в надлежащем месте. Вопрос о том, пересекаются ли рассматриваемые линии, и если да, то где находится точка их пересечения, как правило, не обсуждается. Однако умение осмысленно и правильно решать перечисленные вопросы имеет весьма существенное значение для овладения методами геометрических доказательств.

Пониманию учащимися целесообразности высказанных требований и проверке развития их критического чутья служат геометрические софизмы, основанные на ошибках в построении, среди которых мы выделяем шесть разновидностей.

Совпадающие точки рассматриваются как различные.

Пример. Внешний угол треугольника равен внутреннему, с ним не смежному.

Черт. 4.

Пусть в четырехугольнике дополняет до . Так как любые три точки, не лежащие на одной прямой, вполне определяют положение окружности, то, следовательно, можно утверждать, что через точки проходит едчнетвенпая окружность. Точку пересечения этой окружности со стороной обозначим через Е. Соединив ее отрезком прямой с точкой В, получаем четырехугольник вписанный в окружность. В нем сумма двух любых противоположных углов составляет

Подводя итоги, выписываем два соотношения:

1) 2) . Из них, как легко

видеть, следует, что внешний угол равен внутреннему, с ним не смежному.

Разъяснение. Так как в первоначально взятом четырехугольнике сумма противоположных углов равна то все его вершины, в том числе и С, должны лежать на окружности. Выходит, что точки и С не различные, а совпадающие. В силу этого треугольник вообще исчезает.

Различные точки рассматриваются как совпадающие.

Пример. Площадь равностороннего треугольника равна нулю.

В равностороннем треугольнике проводим высоту (черт. 5). Рассматриваемый треугольник равновелик прямоугольнику смежными сторонами которого являются отрезки и На продолжении откладываем отрезок равный На отрезке как на диаметре, описываем полуокружность, которая пересечется с продолжением в некоторой точке К. Тогда Квадрат как и прямоугольник равновелик треугольнику

Черт. 5.

Представляя сдвинутым вдоль так, что С совпадает с заметим, что квадрат состоит из фигуры и фигуры, равновеликой следовательно, квадрат равновелик трапеции Отсюда следует, что площадь равностороннего треугольника равна нулю.

Разъяснение. Утверждение, что при указанном параллельном перенесении точка Е совпадает с точкой Н, ошибочно. Для того чтобы в этом убедиться и иметь возможность оценить численную величину ошибки, найдем отрезки и

где буквой а обозначена сторона

Откуда находим:

точка берется там, где она не может быть.

Пример. Каждая точка диаметра окружности лежит на самой окружности.

Черт. 6.

Пусть С — любая точка диаметра Построив к точкам четвертую гармоническую делим пополам отрезок и обозначаем его середину через 11. Тогда, если М обозначает центр окружности, имеем по известной теореме

Напомним читателю вывод этой теоремы. Из чертежа не. посредственно усматриваем, что пропорцию

имеющую место для четырех гармонических точек можно переписать так:

Воспользовавшись свойством пропорции, по которому сумма членов первого отношения так относится к их разности,

как сумма членов второго отношения к их разности, заключаем:

откуда

Заметив, что и утверждаем:

С другой стороны, если перпендикуляр в точке Н к АВ пересечет окружность в точке Е, то

3) . Вычитая почленно 3) из 2), будем иметь:

Но из 1) и 4) следует, что откуда т. е. точка С лежит на окружности, и так как С есть произвольно взятая точка диаметра, то это справедливо для любой точки диаметра

Разъяснение. В пропорции

произведем перестановку крайних членов:

Так как то, следовательно, и должно быть больше А потому точка И, которая должна быть серединой отрезка лежит не внутри круга, а вне его, правее точки В.

Итак, ошибка явилась следствием неправильного чертежа: точка И нами была взята там, где она не может быть.

Классическим софизмом этого типа является «доказательство» утверждения, что нет треугольников, отличных от равнобедренных. Индийский математик Сундара приводит его в качестве примера такой ошибки, самую возможность появления которой исключают геометрические упражнения с куском бумаги. «Было бы совершенно правильно, — утверждает требовать от учеников складывания этих чертежей на бумаге. Это давало бы им отчетливые и точные фигуры и невольно запечатлевало бы в их умах истины предложений».

Предположенная точка пересечения на самом деле отсутствует.

Профессор Н. Ф. Четверухин в своей фундаментальной работе «Чертежи пространственных фигур в курсе геометрии» (М., 1946), анализируя педагогическую постановку задачи о построении изображений, подчеркивает следующее положение: «Особенно же велико значение изображений пространственных фигур в воспитании пространственного воображения (разрядка автора. — у учащихся, в выработке у них более тонкого, более развитого пространственного мышления, столь необходимого в условиях современной сложной техники» (стр. 7). Некоторую роль в решении этой ответственной задачи может играть и разбор стереометрических вариантов некоторых софизмов.

Черт. 7.

Пример. Прямой угол равен тупому.

Пусть имеем четырехугольник (черт. 7), у которого сторона образует со стороной А В прямой угол и равна стороне образующей тупой угол.

Восстановим из середины стороны А В перпендикуляр к плоскости четырехугольника а из середины стороны перпендикуляр к этой прямой, пересекающий перпендикуляр к в некоторой точке Соединим точку с точками

Из прямой теоремы о трех перпендикулярах легко усмотреть, что т. е.

Замечая, что по построению (как наклонные к одной прямой, имеющие равные проекции) и (как наклонные к прямой имеющие равные проекции), а по условию утверждаем, что

Из равенства этих треугольников имеем: Применяя обратную теорему о трех перпендикулярах, утверждаем, что перпендикулярна к а потому что и требовалось доказать.

Разъяснение. При использованном построении является равнобедренным, что и приводит к противоречию, так как при равенстве наклонных и их проекции и оказываются неравными, что видно из рассмотрения и но так как Отсюда вывод, что прямые и не могут иметь общей точки.

Источник анализируемой весьма грубой ошибки состоит в том, что при построении постулировалось существование точки пересечения 5 как точки пересечения плоскости (перпендикулярной к прямой и делящей отрезок пополам) и прямой (перпендикуляром к данной плоскости, восставленным к ней из середины отрезка Короче говоря, при построении исходили из предположения, что плоскость и прямая всегда пересекаются.

Ломаная принимается за прямую.

Пример. Софизм и его обобщение.

Этот софизм исключительно ценец по своему идейно-образовательному значению. Обобщенная трактовка этого софизма, привлекающая теорию непрерывных дробей, изложена Игнатьевым. Более элементарное изложение этого обобщения дано в главе IV.

Прямая принимается за ломаную

Ошибка, обратная предыдущей.

Пример. Два треугольника равны, если они имеют по две соответственно равных стороны и по равному углу, противолежащему одной из них.

Легко увидеть, что в этом предложении «обобщен» четвертый признак равенства треугольников. В самом деле, обычный признак предусматривает, что угол берется против большей стороны. В приведенной же формулировке это ограничение снято.

Итак, даны треугольники

Черт. 8

и причем требуется доказать, что

Доказательство. Приложим и один к другому так, чтобы их равные стороны и совместились (черт. 8), причем точка В совпала бы с точкой

В, точка С — с точкой С. Соединяем точки На основании равенства отрезков заключаем, что равнобедренный, а, следовательно, А так как по условию теоремы дано, что то в зависимости от вида треугольника с помощью сложения или вычитания получаем соотношение: Значит, равнобедренный, а потому Ссылкой на третий признак равенства треугольников заканчивается доказательство теоремы.

Разъяснение. По условию имеем:

Из находим:

Из находим:

Так как в соотношениях (1) и (2) правые части равны, то равны и левые:

Относительно углов возможно сделать три предположения:

1) . В этом случае мы имеем действительно равные треугольники. Их равенство устанавливаем по или признакам равенства треугольников.

Черт. 9

2) . В этом случае Следовательно, приведенный чертеж ненравилен: стороны и лежат на одной прямой (черт. 9). Прямая была принята за ломаную, и все наше доказательство, как построенное на неправильном чертеже, рушится.

Таково конкретное проявление ошибки. Однако источник ее в другом — в неполном перечислении возможных случаев.

3) Этот случай невозможен, так как разность двух углов треугольника не может быть равна 360°.

Опровержение же утверждения «теоремы» легко достигается путем построения треугольников, удовлетворяющих требованиям «теоремы», но неравных между собой (см. черт. 45, стр 161).