4. Неправильное применение принципа непосредственных умозаключений путем обращения.

Ученики средней школы далеко не сразу достигают понимания необходимости доказывать обратные теоремы. Психологическую подоплеку этого явления можно видеть в том, что в учебнике за прямыми теоремами, естественно, следуют только те из обратных, которые оказываются справедливыми. Отсюда в умы учащихся навязчиво вкрадывается ложное представление о неизбежной справедливости обратной теоремы в силу установленной истинности прямой. Противодействуя этому впечатлению, учителю неоднократно приходится приводить разительные примеры, убедительно свидетельствующие о незаконности такого обращения.

Еще большую трудность для учащихся представляет самостоятельное формулирование вывода, непосредственно вытекающего путем обращения некоторого общеутвердительного суждения. Часто на основании того, что «всякое есть Р», хотя сказуемое Р и не распределено, ученики склонны утверждать, что «все Р суть вместо частно-утвердительного «некоторые Р суть Конечно, даже самый плохой ученик на основании того, что вертикальные углы равны, не станет утверждать, что все равные углы обязательно вертикальны. Однако даже хороший ученик орой впадает в ошибку этого типа, когда неправильно выполненное обращение приводит к такой ошибке в содержании суждения, которая не бросается ему в глаза. На последнем построены некоторые математические софизмы.

Пример 1. Любые два числа друг другу равны.

Пусть Панишем тождество: Так как Раскрыв квадратные скобки, будем иметь: Прибавив к каждой части равенства дополним их до квадрата разности двух чисел:

Из равенства квадратов двух чисел заключаем о равенстве оснований:

Разъяснение. Здесь допущена ошибка в обращении суждения: «Если основания равны, то и квадраты их

равны». Из этого суждения мы непосредственно заключили, что «если квадраты равны, то и основания равны». На самом деле, имеет место частно-утвердительное суждение: «Если квадраты равны, то основания могут быть равны». Происходит это потому, что сказуемое исходного суждения не распределено: квадраты равны не только равных чисел, но и чисел, равных только по абсолютной величине.

Черт. 2

Пример 2. Во всяком треугольнике все углы равны.

Обозначим углы произвольно взятого разностороннего треугольника через а стороны, лежащие против этих углов, через с (черт. 2).

На продолжении сторон ВА и СА отложим отрезки и соответственно равные и с. Соединим теперь точки и

Так как в а то по теореме синусов имеем:

Так как в то по той же теореме имеем:

В равенствах (1) и (2) правые части равны, следовательно, равны и левые:

откуда

а потому

Продолжив стороны АВ и СВ и повторив аналогичные рассуждения, придем к выводу, что чем и заканчивается доказательство сделанного утверждения.

Разъяснение. На основании того, что

можно сделать три предположения:

Первое и третье предположения следует отбросить. Одно как приводящее к абсурду, другое как содержащее невозможное требование, чтобы разность двух положительных углов, из которых каждый меньше 180°, равнялась бы где Остается второе предположение, которое при не противоречит смыслу задачи и связывает углы треугольника известным соотношением.

Из сказанного видно, что и здесь ошибка изучаемого нами сейчас типа. Тот факт, что равные углы имеют равные синусы, не дает еще основания заключать о справедливости обратного утверждения. Можно только сказать: «Если синусы двух углов равны, то и углы могут быть равны».

Английский математик Чарлз Доджсон (1832—1898) считал, что с непосредственными умозаключениями путем обращения полезно знакомить детей на примерах житейского обихода задолго до периода серьезного изучения математики. В своей широко известной в мировой литературе детской книге «Алиса в стране чудес», выпущенной им в Англии в 1865 году под псевдонимом Лыоис Кэрролл и выдержавшей в этой стране свыше трехсот изданий, он приводит следующий разговор между героями сказки:

- Ты думаешь, что знаешь ответ? - спросил Заяц.

— Вот именно, — сказала Алиса.

— Тогда говори, что думаешь, — закончил Заяц.

— Я это и делаю, - поспешно сказала Алиса, — по крайней мере... я думаю, что говорю, а это одно и то же, знаете!

— Совершенно не одно и то же! — воскликнул Шляпочник. — Может быть, ты скажешь еще, «я вижу то, что ем» и «я ем то, что вижу» — тоже одно и то же?

— Может быть, ты скажешь ещё, — добавил Заяц, — что: «я люблю всё, что имею» и «я имею всё, что люблю» — тоже одно и то же?

— Может быть, ты скажешь ещё, — продолжала Соня, которая, по-видимому, говорила во сне, — что: «Я дышу, пока сплю» и «я сплю, пока дышу» — тоже одно и то же?

— Это и есть одно и то же — для тебя! — сказал Шляпочник — и на этом разговор оборвался».