точки Е возможны три предположения: либо точка Е находится внутри треугольника 
либо вне его, либо на стороне 
Чертеж 29а соответствует первому предположению Проводим отрезки 
и 
а также 
и 
Прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе 
и катетам 
(точка Е, находясь на биссектрисе угла С, одинаково удалена от его сторон), а потому 
Прямоугольные треугольники 
и 
тоже равны — по общему катету 
и равным катетам 
а потому 
Наконец, прямоугольные треугольники 
и 
равны в силу равенства гипотенуз 
и 
и катетов 
и 
следовательно, 
Почленное сложение равенства 
и 
приводит к равенству 
противоречащему условию 
Получается, что всякий неравнобедренный треугольник есть в то же время равнобедренный!
Черт. 29а
Черт. 29б
Черт. 29в
К тому же заключению мы придем, сделав предположение, что точка Е не внутри, а вне треугольника 
(черт 296). Рассмотрение треугольников 
и 
и 
и 
позволяет установить, что 
а почленное вычитание последних равенств приводит к выводу, что 
Ничего не меняет и предположение, что точка Е оказывается на стороне 
т. е. совпадает с точкой 
(черт. 29в). Равенство треугольников 
и 
и 
влечет за собой равенства 
откуда опять 
Итак, при каждом из трех сделанных предположений Получается один и тот же нелепый вывод. В чем же ошибка?
и предположим, что 
Проведем биссектрису 
угла 
и ось симметрии 
стороны 
(осью симметрии отрезка называют прямую, делящую отрезок пополам и перпендикулярную к нему). Эти две линии 
не могут ни совпадать друг с другом, ни быть параллельными, так как в обоих этих случаях биссектриса служила бы одновременно и высотой, что возможно лишь в равнобедренном треугольнике, т. е. при 
Следовательно, прямые 
обязательно пересекаются в некоторой точке Е. Относительно этой
