Действительно ли это так?
Рассмотрим пример. Пусть 
где 
и надо найти значение х, извлекая корень с точностью до десятых. Подставляя числовые значения непосредственно, имеем 
Применяя предварительное уничтожение иррациональности в знаменателе, получаем 
Сравнивая оба найденных приближенных значения с более точным, равным 
убеждаемся, что первое из них (0 имеет погрешность 
по недостатку, второе же 
-погрешность 
по избытку. Как видим, вопреки утверждению, в книге уничтожение иррациональности в знаменателе отнюдь не повысило точность в 
раз, а даже немного ее понизило.
Легко показать, что при замене корней их приближенными значениями, отличающимися от точных их значений меньше чем на — долю единицы, мы получим значение выражения 
с погрешностью, не больше чем 
а значения выражения 
погрешностью, не большей 
Эти границы погрешности при 
равны, что и подтвердил только что рассмотренный пример. При 
вторая граница погрешности меньше первой, но не в 
раз, как утверждает книга, а лишь в 
При 
вторая граница больше первой.
Рассмотрим еще пример. Пусть требуется найти значение выражения 
при 
имея в своем распоряжении четырехзначную таблицу квадратных корней. Таблица дает 
и, делая подстановку непосредственно в данное выражение, мы получим 
Если же предварительно преобразовать данное выражение, уничтожая (посредством умножения числителя и знаменателя на 
иррациональность в знаменателе, то получим:
В то время как первое вычисление дало значение х с четырьмя десятичными знаками второе дало его лишь с одним, т. е. значительно менее точно.
Как видим, уничтожение иррациональности в знаменателе далеко не всегда повышает точность результата вычисления, а иногда даже понижает ее.
Зачем же тогда ведут эту «борьбу с иррациональностями в знаменателе»?
Дело в том, что вычисление производится в громадном большинстве случа в значительно удобнее, если в знаменателе нет корней, чем в тех случаях, когда там корни имеются.
Например, для вычисления мы должны произвести деление на многозначное приближенное значение корня, а после уничтожения иррациональности в знаменателе деление выполняется гораздо проще Попробуйте упростить выражение:
сначала уничтожив предварительно корни в знаменателе каждой дроби, а затем не прибегая к этому приему, и польза «борьбы с иррациональностями в знаменателях» станет вполне очевидной. Не надо, однако, думать, что вести эту борьбу надо всегда. Во многих вопросах высшей математики (при разыскании пределов, при интегрировании иррациональностей и т. д.) нередко приходится делать обратное: уничтожать иррациональности в числителе, переводя их в знаменатель. Вот простой пример. Надо установить, что делается с разностью
при неограниченном возрастании х, т. е. вычислить 
Из элементов теории пределов, изучаемой в курсе алгебры IX класса, известно: предел разности двух переменных, имеющих пределы, равен разности их пределов.
Легко видеть, что в этом примере нельзя применить теорему о пределе разности, так как пределов уменьшаемого и вычитаемого не существует (выражение 
просто не имеет никакого смысла).
Однако мы легко справимся с поставленной задачей, если воспользуемся следующими преобразованиями выражения, находящегося под знаком предела:
утверждение, что, вычисляя корень до мы получим численное значение выражения 
раз точнее, если предварительно преобразуем это а 
выражение к виду 