79. О точности произведения приближенных чисел.

Положим, требуется найти произведение двух чисел

Не желая иметь дело с обыкновенными дробями, переходим к десятичным, ограничиваясь точностью до десятых. Так как — то выполняем умножение десятичных чисел 124,3 и 2,1, и получаем произведение 261,03.

Сомножители были взяты с точностью до десятых. Считая, что с такой же точностью получен и результат, пишем окончательно:

Так ли это?

Производя умножение без предварительного обращения сомножителей в десятичные дроби, мы найдем, что. произведение равно или Следовательно, в полученном выше результате, вопреки нашему ожиданию, неверна не только цифра десятых долей, но и цифра целых единиц.

Для того чтобы попять, почему так получилось, запишем приближенные сомножители в виде и заменяя знаками вопроса неизвестные цифры сотых долей, и выполним умножение так, как будто эти цифры сотых были нам известны. Умножая неизвестные цифры, в частных произведениях ставим в соответствующих местах тоже знаки вопроса:

Все цифры произведения направо от вертикальной пунктирной черты получены от сложения неизвестных цифр с известными или одних неизвестных цифр друг с другом, а потому никакого доверия не заслуживают. Отбрасывая эти цифры результата, записываем произведение в виде 260 или, еще лучше: в виде уменьшенный размер нуля целых указывает, что этот пуль поставлен вместо неизвестной нам цифры единиц.

При умножении приближенных чисел следует руководствоваться правилом: в произведении двух приближенных чисел следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет тот сомножитель, у которого значащих цифр меньше. Под значащими цифрами числа разумеют все его цифры, т. е. цифры как целой, так и дробной его части, за исключением нулей, которые стоят левее первой отличной от нуля цифры, и тех нулей, которые могут быть у числа справа, если эти нули поставлены взамен неизвестных цифр (например, числа 20,6, 206, 0,00206 имеют по три значащие цифры каждое).

В применении к рассмотренному выше примеру

умножения приближенных чисел это правило рекомендует сохранить в произведении лишь две первые значащие цифры, так как приближенное множимое (124,3) имеет 4 значащие цифры, приближенный же множитель (2,1) - только 2. Но мы убедились, что точько эти две первые цифры произведения в нем и верны. Взяв множитель в виде десятичной дроби не с 2, а с 3 значащими цифрами (2,14), мы получили бы произведение 266,002, в котором следовало бы, согласно правилу, сохранить уже 3 первые значащие цифры, и мы имели бы 124-12-266, т. е. как раз то, что получается, если точное произведение округлить до 3 значащих цифр. Взяв множитель с 4 значащими цифрами (2,137), мы получили бы произведение 265,6291, в котором согласно правилу надо бы было сохранить 4 первые значащие цифры. И, действительно, расхождение между этим приближенным произведением и точным его значением начинается лишь после четвертой значащей цифры.

Пользоваться этим очень удобным правилом округления произведения приближенных чисел можно и тогда, когда один из сомножителей — число точное. Надо только считать, что в этом сомножителе бесконечно много значащих цифр, и сохранять в произведении столько значащих цифр, сколько их имеет второй (приближенный) сомножитель. Например, если взять и находить длину окружности с диаметром ровно в 2,6 см, то в произведении следует сохранить 3 первые значащие цифры, которые и являются единственными верными цифрами этого произведения (взяв мы получили бы

Следует заметить, что могут быть случаи, когда произведение двух чисел имеет больше верных цифр, чем можно ожидать на основании этого правила, так как один приближенный сомножитель может быть меньше соответствующего точного значения, а другой — больше. Точно также может случиться, что последняя цифра, которую мы сохраняем в произведении согласно правилу, будет не вполне точной; теория указывает, что в этой последней цифре может быть неточность, приближающаяся в исключительных случаях к 6 единицам этого разряда, но никогда не превосходящая этого предельного значения.

Подобные же правила надо соблюдать и при выполнении других действий над приближенными числами: в частном Двух приближенных чисел следует сохранять столько значащих цифр, сколько их имеет то из данных чисел (делимее и делитель), в котором меньше значащих цифр; при возведении в квадрат и куб в результате надо сохранять сюлько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число; квадратный и кубический корни из приближенного числа надо извлекать со столькими значащими цифрами, сколько их имеет подкоренное число.