78. Все большие числа приближенно равны между собой.

Условимся считать числа, начиная с миллиона, большими и докажем, что, например,

Утверждение, что для всякого большого числа можно считать

не вызывает возражений.

Последовательно подставляя в соотношение имеем:

Перемножая левые и правые части миллиона приближенных равенств (2), получим:

Сократив обе части приближенного равенства (3) на

получим требуемое соотношение:

В чем здесь дело?

К числу законных математических операций относится почленное перемножение равенств. Однако здесь имеются в виду точные равенства. Что же касается приближенных равенств, то они, но своему математическому смыслу, представляют из себя неравенства: запись с точностью до равносильна записи а с точностью до записи

Из сказанного ясно, что почленное перемножение приближенных равенств следует трактовать как перемножение соответствующих неравенств. Но, как известно, при почленном умножении неравенств одинакового смысла (а только такие и можно перемножать) неравенство усиливается. В самом деле, имея неравенства выводим отсюда, что т. е. перемножение двух двойных неравенств усиливает каждое.

Естественно, что при перемножении большого числа неравенств (в анализируемом примере миллиона) неравенство усиливается весьма разительно.

Таким образом, абсурдный вывод устраняется.

Этот софизм построен на двузначности термина «равенство»: равенство точное и равенство приближенное.